協(xié)方差矩陣作為多元統(tǒng)計分析中一個不可或缺的統(tǒng)計參數(shù),在經(jīng)典多元統(tǒng)計分析中扮演著重要角色,如何得到一個準確的協(xié)方差矩陣估計是多元統(tǒng)計分析中的一個基本問題。另一方面協(xié)方差矩陣應(yīng)用也十分廣泛,在各個領(lǐng)域的統(tǒng)計分析工作中均會涉及,尤其是在金融資產(chǎn)投資領(lǐng)域,協(xié)方差矩陣刻畫多變量相關(guān)性及波動程度的功能,正是衡量多維金融資產(chǎn)風險的有力工具,以均值-方差投資組合模型為代表的一系列數(shù)量化投資理論的出現(xiàn),更是提高了協(xié)方差矩陣在金融投資領(lǐng)域的角色地位。大數(shù)據(jù)時代悄然而至,現(xiàn)階段統(tǒng)計分析工作面臨數(shù)據(jù)的變量維度、樣本規(guī)模較之前更高、更大,協(xié)方差矩陣作為多元統(tǒng)計分析中的重要統(tǒng)計量,其估計問題在高維背景下遇到了嚴峻的挑戰(zhàn)。當變量維度p或變量維度與樣本規(guī)模的比值p/n顯著增加時,基于樣本數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)協(xié)方差矩陣構(gòu)建方法將變得不可信賴,待估參數(shù)數(shù)目上升、估計誤差累積、矩陣奇異無法求逆等一系列問題將會對多變量統(tǒng)計分析工作帶來新的困擾。在高維協(xié)方差矩陣應(yīng)用領(lǐng)域,相關(guān)問題也隨之而來,例如對于均值-方差投資組合模型的應(yīng)用,由于作為輸入變量之一的高維協(xié)方差矩陣可能存在奇異性,這將會導(dǎo)致高維投資組合模型構(gòu)建無法順利進行,此外協(xié)方差矩陣... 

【文章來源】：中央財經(jīng)大學(xué)北京市 211工程院校 教育部直屬院校

【文章頁數(shù)】：132 頁

【學(xué)位級別】：博士

【部分圖文】：

技術(shù)路線圖

26資者在長期持有固定權(quán)重投資組合來降低交易費用和根據(jù)信息及時調(diào)整投資組合但付出交易費用之間，更傾向于選擇后者（Fleming，2003），因此利用動態(tài)高維協(xié)方差矩陣來構(gòu)建動態(tài)投資組合具有十分重大的應(yīng)用意義。圖2.1研究框架圖本節(jié)基于文獻綜述，梳理了高維協(xié)方差矩陣研究及投資組合領(lǐng)域相關(guān)文獻，詳細研究框架見圖2.1。在此研究框架內(nèi)，本文從穩(wěn)健估計及高維已實現(xiàn)協(xié)方差矩陣建模這兩個方向作為切入點開展相關(guān)研究，共計三項研究內(nèi)容，均是在已有方法的基礎(chǔ)上進行模型改進，具體研究出發(fā)點為：1、Avella-Medinaetal.（2018）提出的均值-中位數(shù)穩(wěn)健估計，利用子樣本分組的方法，將中位數(shù)估計的思想拓展至高維協(xié)方差矩陣的估計過程中，同時通過證明估計誤差極大范數(shù)的收斂性，保證了該方法的大樣本可用性。然而該方法沒有在結(jié)構(gòu)上保證估計矩陣的正定性，在實際應(yīng)用中不可靠，且得到的估計也不是稀疏的，因而其應(yīng)用價值大大折扣。本文第一項研究對Avella-Medinaetal.（2018）提出的方法進行改進，在原始方法的基礎(chǔ)上，引入中心正則算法，對矩陣非對角線元素利用L1懲罰進行稀疏化，在計算求解的過程中同時施加約束來保證所得矩陣的正定性。在得到高維協(xié)方差矩陣的穩(wěn)健估計后，將其拓展應(yīng)用至實際投資組合模型構(gòu)建中，綜合分析評價投資組合的績效表現(xiàn)。

29圖3.1數(shù)值模擬特征值分布情況設(shè)50I為50維單位矩陣，分別多元正態(tài)分布從50N(0,)、自由度為1的多元T分布50T(0,,1)中產(chǎn)生規(guī)模為n25,50,1000的樣本觀測，利用樣本協(xié)方差矩陣估計方法進行總體協(xié)方差矩陣估計，對得到的估計量進行特征值分解，從大到小排序后其特征值情況見圖3.1�？傮w樣本協(xié)方差矩陣的50個特征值均為1，圖3.1左圖為多元正態(tài)分布下樣本協(xié)方差矩陣特征值情況，可以看出當樣本規(guī)模小于變量維度時，樣本協(xié)方差矩陣特征值具有發(fā)散情況，隨著樣本量的增加情況逐漸好轉(zhuǎn)；右圖為多元T分布下樣本協(xié)方差矩陣特征值情況，樣本規(guī)模的增加對特征值情況并無實際改善。對于樣本協(xié)方差矩陣特征值描述統(tǒng)計見表3.1。表3.1樣本協(xié)方差矩陣特征值描述統(tǒng)計表最大值最小值標準差50N(0,)n255.84-1.21E-151.57n504.14-1.53E-161.06n10001.490.610.2350T(0,,1)n251622.09-2.05E-13231.13n505259.36-2.20E-14783.81n10001509420.847.53213377.15描述統(tǒng)計結(jié)果顯示，樣本協(xié)方差矩陣特征值不僅出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象，而且最小特征值為負值，導(dǎo)致所估計的協(xié)方差矩陣不是正定矩陣，無法求解其逆矩陣。在高維背景下，變量維度大于樣本數(shù)目，樣本協(xié)方差矩陣估計面臨挑戰(zhàn)。例如在

【參考文獻】：
期刊論文
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[2]基于矩陣值因子模型的高維已實現(xiàn)協(xié)方差矩陣建模[J]. 宋鵬,胡永宏.  統(tǒng)計研究. 2017(11)
[3]高維條件協(xié)方差矩陣的非線性壓縮估計及其在構(gòu)建最優(yōu)投資組合中的應(yīng)用[J]. 趙釗.  中國管理科學(xué). 2017(08)
[4]基于已實現(xiàn)協(xié)方差矩陣的高維金融資產(chǎn)投資組合應(yīng)用[J]. 宋鵬,胡永宏.  統(tǒng)計與信息論壇. 2017(08)
[5]GARCH（1,1）模型的穩(wěn)健估計比較及應(yīng)用[J]. 宋鵬,胡永宏,朱穎穎.  數(shù)學(xué)的實踐與認識. 2017(08)
[6]大維數(shù)據(jù)的動態(tài)條件協(xié)方差陣的估計及其應(yīng)用[J]. 劉麗萍,馬丹,白萬平.  統(tǒng)計研究. 2015(06)
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