本文關(guān)鍵詞：波在無(wú)界波導(dǎo)中傳播的高精度快速計(jì)算

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【摘要】：在光學(xué)、聲學(xué)、地震學(xué)等諸多應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi),經(jīng)常需要快速精確地求解波的傳播問(wèn)題。波導(dǎo)沿著波傳播方向的縱向尺度通常很大,橫向的尺度遠(yuǎn)小于縱向但仍然遠(yuǎn)大于波的波長(zhǎng)。標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)值方法,如有限元法或有限差分法等,會(huì)產(chǎn)生一個(gè)規(guī)模很大的線性方程組,這將占用大量的內(nèi)存,且計(jì)算效率不高。對(duì)于橫向有界的波導(dǎo)結(jié)構(gòu),很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)波在變折射率光波導(dǎo)或變波數(shù)聲波導(dǎo)中的傳播計(jì)算進(jìn)行了研究并提出了行之有效的數(shù)值方法。比如適用于緩變平板波導(dǎo)的光束傳播法、用于計(jì)算近軸傳播問(wèn)題的算子方法、基于DtN(Dirichlet-to-Neumann)映射的步進(jìn)方法。對(duì)于橫向無(wú)界的波導(dǎo),通過(guò)完美匹配層(PML),橫向可以被截?cái)酁橐粋�(gè)很小的區(qū)域。于是,傳播問(wèn)題的求解區(qū)域只有縱向的尺度比較大。對(duì)于這種結(jié)構(gòu),通過(guò)DtN映射,可以將原先的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為初值問(wèn)題,然后再用步進(jìn)算法快速的求解這個(gè)初值問(wèn)題,這就是算子步進(jìn)方法(Operator marching method)。在算子步進(jìn)方法中,每一次步進(jìn)都需要進(jìn)行一次與特征模相關(guān)的局部基變換。對(duì)于有界區(qū)域上的問(wèn)題,由于橫向算子是自伴的,特征模構(gòu)成一組完備正交基,局部基變換可以很容易的完成。但是對(duì)于無(wú)界問(wèn)題,由于PML的引入,原來(lái)的實(shí)系數(shù)Helmholtz方程變?yōu)橐粋�(gè)復(fù)系數(shù)的偏微分方程,橫向算子不再是自伴的。此時(shí),特征模不再是正交的,這給局部基變換帶來(lái)了困難。盡管用于處理?yè)p耗波導(dǎo)傳播問(wèn)題的共軛算子法在理論上可以用于局部基變換,但本文的研究表明,通過(guò)這種方法進(jìn)行局部基變換將給傳播計(jì)算帶來(lái)難以接受的誤差。通過(guò)對(duì)橫向算子的深入研究,本文提出了一個(gè)新的局部基變換技術(shù),并研究了它和共軛算子法之間的關(guān)系。理論推導(dǎo)表明,如果將橫向算子在無(wú)窮網(wǎng)格上進(jìn)行離散,新的基變換方法和共軛算子法是等價(jià)的。但是,數(shù)值模擬結(jié)果表明,新的局部基變換技術(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于共軛算子法,精度和穩(wěn)定性都得到了顯著的提高。通過(guò)新的局部基變換,我們得到了Helmholtz方程在變折射率介質(zhì)中的高精度解。除此之外,本文還研究了波在帶有彎曲界面的無(wú)界波導(dǎo)中的傳播計(jì)算。在這種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中,要使用大步長(zhǎng)的算子步進(jìn)方法進(jìn)行傳播計(jì)算,首先要化簡(jiǎn)求解區(qū)域。本文采用局部正交坐標(biāo)變換將彎曲界面拉平,然后用結(jié)合了新的局部基變換技術(shù)的算子步進(jìn)方法進(jìn)行傳播計(jì)算。
【關(guān)鍵詞】：Helmholtz方程 完美匹配層 傳播計(jì)算 算子步進(jìn)方法 局部基變換 共軛算子 彎曲界面 局部正交坐標(biāo)變換
【學(xué)位授予單位】：浙江大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
【目錄】：

• 摘要6-8
• Abstract8-15
• 第一章 引言15-27
• 1.1 研究背景15-17
• 1.2 數(shù)學(xué)模型17-20
• 1.3 人工邊界條件和完美匹配層20-23
• 1.4 本文的內(nèi)容概要23-27
• 第二章 傳播問(wèn)題和特征值問(wèn)題27-43
• 2.1 特征問(wèn)題及其求解27-28
• 2.2 特征值問(wèn)題的數(shù)值解法28-35
• 2.2.1 有限差分法29-30
• 2.2.2 有限元法30-31
• 2.2.3 譜方法31-33
• 2.2.4 數(shù)值算例33-35
• 2.3 傳播問(wèn)題及其數(shù)值解35-41
• 2.3.1 特征模展開(kāi)35-36
• 2.3.2 光束傳播法36-37
• 2.3.3 向光束傳播法37-38
• 2.3.4 算子步進(jìn)方法38-41
• 2.4 小結(jié)41-43
• 第三章 算子步進(jìn)方法中的基變換43-71
• 3.1 基于共軛算子的局部基變換44-58
• 3.1.1 橫向算子及其伴隨算子44-51
• 3.1.2 共軛算子法51-52
• 3.1.3 共軛算子法在有界傳播問(wèn)題中的應(yīng)用52-56
• 3.1.4 共軛算子法處理無(wú)界問(wèn)題時(shí)遇到困難56-58
• 3.2 基于算子離散矩陣共軛轉(zhuǎn)置的局部基變換58-62
• 3.2.1 共軛轉(zhuǎn)置矩陣法59-60
• 3.2.2 與共軛算子法之間的聯(lián)系60-62
• 3.3 數(shù)值結(jié)果和討論62-69
• 3.3.1 有界問(wèn)題的等價(jià)性驗(yàn)證62-64
• 3.3.2 無(wú)界問(wèn)題時(shí)兩種方法的比較64-67
• 3.3.3 用兩種基坐標(biāo)變換進(jìn)行傳播計(jì)算的比較67-68
• 3.3.4 波在漸變折射率介質(zhì)中的傳播68-69
• 3.4 小結(jié)69-71
• 第四章 帶有彎曲界面的傳播問(wèn)題71-89
• 4.1 基本問(wèn)題71-73
• 4.2 局部正交坐標(biāo)變換73-77
• 4.2.1 坐標(biāo)變換73-75
• 4.2.2 方程變換75-77
• 4.2.3 用PML截?cái)嗪蟮臒o(wú)界問(wèn)題77
• 4.3 共軛算子的推導(dǎo)77-83
• 4.3.1 有界問(wèn)題特征算子的自伴性78-81
• 4.3.2 被PML截?cái)嗟臒o(wú)界問(wèn)題81-83
• 4.4 數(shù)值算例83-88
• 4.4.1 正確性驗(yàn)證83-85
• 4.4.2 例一85-87
• 4.4.3 例二87-88
• 4.5 小結(jié)88-89
• 第五章 總結(jié)與展望89-93
• 5.1 總結(jié)89-90
• 5.2 展望90-93
• 參考文獻(xiàn)93-103
• 附錄：坐標(biāo)變換后的系數(shù)和其它參數(shù)103-106
• 完成文章目錄106-107
• 簡(jiǎn)歷107-108
• 致謝108

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：770921