發(fā)布時間：2017-07-19 16:30

  本文關鍵詞：希爾伯特的積分方程理論

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【摘要】：積分方程是一種重要的數(shù)學工具,它與數(shù)學中的許多分支之間有密切的聯(lián)系,也有著非常廣泛的應用。本文通過歷史分析和文獻考證的方法,以“為什么數(shù)學”為指導,在研讀相關原始文獻和研究文獻的基礎上,對希爾伯特的積分方程工作進行了較為深入細致的研究,挖掘了蘊含在希爾伯特積分方程工作中的深刻思想,著重探究了希爾伯特與其追隨者們之間的思想傳承。取得的主要成果如下：1.對弗雷德霍姆的積分方程理論進行了較為深入細致的研究,分析了弗雷德霍姆積分方程思想的來源,梳理了無窮維線性方程組的歷史發(fā)展,考察了弗雷德霍姆建立其積分方程理論的視角和過程。2.詳細研究了希爾伯特建立對稱核積分方程的特征值理論的工作,梳理出了他建立該理論的思路,指出了他的理論所關注的問題,分析了他成功建立其理論的關鍵是廣義主軸定理,考察了他建立這個定理的思路和過程,論述了這個定理在證明存在性問題和建立函數(shù)的展開定理方面的重要作用,并闡述他的工作中萌芽的希爾伯特空間的思想。3.深入細致地探討了希爾伯特用無窮二次型語言建立的譜理論,也對譜理論在積分方程上的應用進行了詳細的考察。分析了希爾伯特建立譜理論的思路和目的,指出了他如何對無窮二次型定義點譜和連續(xù)譜,又如何對有界無窮二次型建立譜分解,也指出了他引入的全連續(xù)概念的重要性。通過對譜理論在積分方程上的應用的研究分析,闡述了希爾伯特工作中蘊含的空間思想和算子理論的思想。4.詳細考察了希爾伯特的追隨者們在具體希爾伯特空間方面所做的貢獻。對施密特早期簡化希爾伯特建立其特征值理論的工作進行了詳細的考察和分析,指出他的工作向希爾伯特空間邁近了一步。也對他建立希爾伯特序列空間并對該空間引入幾何語言的工作進行了詳細考察。對里斯運用勒貝格積分推廣希爾伯特的工作時建立的里斯——費舍爾定理的相關工作進行了分析研究,有助于更好地理解其后來的工作。5.考察了希爾伯特的工作在抽象空間理論建立過程中產(chǎn)生的重大影響。里斯仿照勒貝格平方可積函數(shù)空間發(fā)現(xiàn)了具體的巴拿赫空間,隨后他又引入范數(shù)代替內(nèi)積來研究函數(shù)空間,給出了范數(shù)所要滿足的三條公理,并且以希爾伯特的全連續(xù)概念為基礎在具體空間上建立了緊算子理論。巴拿赫為了將積分方程理論一般化在完全抽象的環(huán)境中來建立了巴拿赫空間理論。應量子力學發(fā)展的需要和數(shù)學向著抽象性發(fā)展的趨勢,馮.諾依曼用抽象語言重新表述和發(fā)展希爾伯特的理論的過程中建立了抽象希爾伯特空間理論。
【關鍵詞】：希爾伯特 積分方程 希爾伯特空間 巴拿赫空間
【學位授予單位】：西北大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175.5
【目錄】：

• 摘要3-5
• Abstract5-9
• 引言9-17
• 第一章 弗雷德霍姆的積分方程理論17-39
• 1.1. 弗雷德霍姆積分方程思想的來源18-28
• 1.1.1. 沃爾泰拉的啟發(fā)19-21
• 1.1.2. 得益于科克的成果21-28
• 1.2. 弗雷德霍姆的積分方程理論28-36
• 1.2.1. 定義“系數(shù)行列式”30-31
• 1.2.2. 討論“系數(shù)矩陣的秩”31-33
• 1.2.3. 分兩種情形處理方程33-36
• 1.3. 小結(jié)36-39
• 第二章 希爾伯特對積分方程的早期探索39-63
• 2.1. 希爾伯特的代數(shù)問題40-46
• 2.2. 定義特征值、特征函數(shù)46-50
• 2.3. 希爾伯特的特征值理論50-59
• 2.3.1. 建立廣義主軸定理50-54
• 2.3.2. 證明存在性問題54-57
• 2.3.3. 建立函數(shù)的展開定理57-59
• 2.4. 微分方程上的應用59-63
• 第三章 希爾伯特的一般理論63-84
• 3.1. 希爾伯特的譜理論63-75
• 3.1.1. 有限維的情形64-67
• 3.1.2. 定義點譜、連續(xù)譜67-71
• 3.1.3. 有界無窮二次型的譜分解71-73
• 3.1.4. 全連續(xù)概念的引入73-75
• 3.2. 譜理論在積分方程上的應用75-81
• 3.3. 小結(jié)81-84
• 第四章 希爾伯特空間的誕生84-105
• 4.1. 希爾伯特序列空間的建立84-96
• 4.1.1. 施密特的早期工作85-92
• 4.1.2. 希爾伯特序列空間的誕生92-96
• 4.2. 里斯—費舍爾定理的建立96-103
• 4.2.1. 勒貝格積分的建立96-98
• 4.2.2. 里斯的相關工作98-100
• 4.2.3. 費舍爾的相關工作100-103
• 4.3. 小結(jié)103-105
• 第五章 抽象空間理論的建立105-137
• 5.1. L~p空間的發(fā)現(xiàn)106-113
• 5.2. 緊算子理論的建立113-116
• 5.2.1. 范數(shù)的引入113-114
• 5.2.2. 緊算子的定義114-115
• 5.2.3. 緊算子理論的建立115-116
• 5.3. 巴拿赫空間理論的開始116-125
• 5.4. 抽象希爾伯特空間理論的開始125-137
• 5.4.1. 抽象希爾伯特空間的定義125-130
• 5.4.2. 抽象希爾伯特空間上的算子130-137
• 結(jié)語137-139
• 參考文獻139-147
• 攻讀博士學位期間發(fā)表的學術論文和參加的學術活動147-148
• 致謝148

【參考文獻】

中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 前2條

1 李亞亞;王昌;;希爾伯特空間誕生探源[J];自然辯證法研究;2013年12期

2 李亞亞;王昌;;緊算子理論成因探析[J];自然辯證法研究;2014年12期

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本文編號：563820