本文主要基于雙曲及高階導(dǎo)數(shù)方程研究了間斷有限元(discontinuous Galerkin,DG)方法的誤差分析包括先驗(yàn)誤差估計(jì),負(fù)模估計(jì),超收斂分析等。主要分為以下幾個(gè)方面:首先,考慮變系數(shù)薛定諤方程局部間斷有限元(local discontinuous Galerkin,LDG)方法的誤差估計(jì)及后處理。后處理技術(shù)是在數(shù)值計(jì)算的最后一步將數(shù)值解與一個(gè)光滑的樣條核函數(shù)做卷積,從而提高數(shù)值解的光滑性及精度。后處理解的誤差估計(jì)主要依賴于先驗(yàn)誤差以及負(fù)模誤差估計(jì)。為此先證明了 LDG格式有k+1階的最優(yōu)誤差估計(jì),然后通過構(gòu)造對(duì)偶方程證明了負(fù)模誤差有至少2k階的精度,這里k是逼近空間多項(xiàng)式的最高次數(shù)。最后通過數(shù)值算例,包括一維線性方程、一維非線性方程、一維及二維的變系數(shù)方程來驗(yàn)證理論分析。雖然理論證明只是對(duì)于變系數(shù)的情形,但從數(shù)值結(jié)果可以看出對(duì)非線性方程后處理技術(shù)也可以提高數(shù)值解的精度。然后,針對(duì)高階導(dǎo)數(shù)方程,基于LDG和超弱間斷有限元(ultra-weak discon-tinuous Galerkin,UWDG)方法提出了一種超弱 LDG(ultra-weak local discont...

【文章頁數(shù)】：170 頁

【學(xué)位級(jí)別】：博士

【文章目錄】：
摘要
ABSTRACT
第1章 緒論
    1.1 間斷有限元方法
        1.1.1 DG方法
        1.1.2 LDG方法
        1.1.3 UWDG方法
        1.1.4 ALE-DG方法
    1.2 DG方法的誤差估計(jì)及超收斂分析
        1.2.1 誤差估計(jì)
        1.2.2 超收斂分析
    1.3 本文工作
第2章 基礎(chǔ)知識(shí)
    2.1 常用記號(hào)
    2.2 網(wǎng)格剖分
    2.3 有限元空間
    2.4 投影
        2.4.1 L²投影
        2.4.2 一維投影
        2.4.3 二維投影
        2.4.4 逆不等式
    2.5 時(shí)間離散
        2.5.1 Runge-Kutta方法
        2.5.2 譜延遲修正方法
    2.6 本章小結(jié)
第3章 薛定諤方程的LDG方法及后處理
    3.1 引言
    3.2 薛定諤方程的正則性
    3.3 LDG格式
    3.4 L²模誤差估計(jì)
        3.4.1 第一能量方程
        3.4.2 第二能量方程
    3.5 負(fù)模估計(jì)及后處理
        3.5.1 SIAC濾波器
        3.5.2 負(fù)模估計(jì)
    3.6 數(shù)值算例
    3.7 本章小結(jié)
第4章 高階方程的UWLDG方法
    4.1 引言
    4.2 四階方程
        4.2.1 數(shù)值格式
        4.2.2 穩(wěn)定性分析
        4.2.3 誤差估計(jì)
    4.3 五階方程
        4.3.1 數(shù)值格式
        4.3.2 穩(wěn)定性分析
        4.3.3 誤差估計(jì)
    4.4 一維高階方程的推廣
        4.4.1 六階方程的推廣
        4.4.2 七階方程的推廣
        4.4.3 一維任意高階方程的推廣
    4.5 二維四階方程的推廣
        4.5.1 數(shù)值格式
        4.5.2 L²穩(wěn)定性
        4.5.3 誤差分析
    4.6 數(shù)值算例
    4.7 本章小結(jié)
第5章 四階線性方程UWLDG格式的超收斂性
    5.1 引言
    5.2 UWLDG格式
    5.3 超收斂分析
        5.3.1 插值函數(shù)的超收斂性
        5.3.2 數(shù)值流通量及單元平均的超收斂
        5.3.3 特殊積分點(diǎn)處的超收斂
    5.4 數(shù)值算例
    5.5 本章小結(jié)
第6章 四階非線性波動(dòng)方程的UWLDG格式
    6.1 引言
    6.2 UWLDG格式
    6.3 能量守恒
    6.4 誤差估計(jì)
    6.5 時(shí)間離散
    6.6 數(shù)值算例
    6.7 本章小結(jié)
第7章 線性雙曲方程ALE-DG方法的超收斂性
    7.1 引言
    7.2 ALE-DG格式
        7.2.1 網(wǎng)格設(shè)定
        7.2.2 函數(shù)空間
        7.2.3 投影及其性質(zhì)
        7.2.4 ALE-DG方法
    7.3 修正函數(shù)
        7.3.1 預(yù)備知識(shí)
        7.3.2 修正函數(shù)的構(gòu)造與分析
        7.3.3 插值函數(shù)的構(gòu)造與分析
    7.4 超收斂
        7.4.1 順風(fēng)點(diǎn)的超收斂
        7.4.2 區(qū)域平均的超收斂
        7.4.3 Radau點(diǎn)的超收斂
    7.5 數(shù)值算例
    7.6 本章小結(jié)
第8章 一維非線雙曲方程ALE-DG格式的負(fù)模估計(jì)
    8.1 引言
    8.2 ALE-DG格式
    8.3 負(fù)模誤差估計(jì)
    8.4 數(shù)值算例
    8.5 本章小結(jié)
第9章 總結(jié)與展望
    9.1 總結(jié)
    9.2 展望
參考文獻(xiàn)
致謝
在讀期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與取得的研究成果



本文編號(hào)：3742565