近年來,隨著對自然科學和社會科學中各種復雜系統(tǒng)的深入研究,分數階微積分在反常擴散、黏彈性力學、軟物質、電磁學、系統(tǒng)控制、生物醫(yī)學、經濟學等諸多領域有了許多成功的應用,有關其理論和應用的研究在國際上已成為熱點。分數階微分方程在描述一些具有記憶性或非局部性質的過程或材料時比整數階微分方程模型更有優(yōu)勢,其解析解通常難以獲得且大多含有計算困難的特殊函數,這激發(fā)了廣大研究者從事分數階系統(tǒng)數值求解的興趣。當前求解分數階擴散-波動方程、分數階變分問題及分數階最優(yōu)控制問題的數值方法主要集中于有限差分方法,其存儲要求高,計算量大,精度低。又因sinc函數和分數次Jacobi多項式在逼近許多特殊函數時具有指數階收斂性,故本文充分利用它們的這種優(yōu)點,采用它們作為基函數,發(fā)展了求解分數階擴散-波動方程初邊值問題、分數階變分問題及分數階最優(yōu)控制問題的高精度數值方法。主要內容和成果如下:第一章介紹了分數階微積分和分數階擴散-波動方程、分數階變分問題與分數階最優(yōu)控制問題及其求解方法的研究背景和現狀,提出了本文的研究動機,并簡要列出了全文的研究內容和結構。第二章首先介紹了與論文相關的一些特殊函數和Jacobi正交多項式,然后對三種常用的分數階微積分的基本概念及其若干性質進行了闡述。第三章結合有限差分方法和sinc配置逼近對一類分數階擴散-波動方程的初邊值問題進行了數值求解。首先利用有限差分方法在時間方向上對原問題進行了半離散化,然后在空間方向上采用sinc配置法得到了全離散格式。根據sinc函數的一些性質,在每個時間步上,原問題被簡化為求解線性代數方程系統(tǒng)。該方法的穩(wěn)定性和收斂性理論被嚴格建立,并通過數值試驗證實了理論結果。接下來,從積分形式的主方程出發(fā)導出了標準的分數階擴散方程,證明了該積分形式的主方程與連續(xù)時間隨機游走(CTRW)模型是等價的,并采用sinc-Chebyshev配置方法對前述分數階擴散方程和分數階擴散-波動方程進行了數值求解。數值例子驗證了該方法的可行性和高效性。特別地,當在sinc配置方法中引入雙指數變換時,空間方向的精度得到了較大提高。第四章發(fā)展了一種指數精度的Rayleigh-Ritz方法求解分數階變分問題�；诜謹惦ASturm-Liouville特征問題的分數次Jacobi多項式被用來作為基函數以逼近分數階變分問題的真解,并通過Rayleigh-Ritz技術得到了與原問題相關的線性代數方程系統(tǒng)。進一步分析了該方法的分數階變分的收斂性,并通過數值試驗證實了該方法具有指數收斂。所發(fā)展的方法在精度上優(yōu)于當前各文獻中提出的方法,并具有較低的存儲要求。第五章討論了一類廣義分數階最優(yōu)控制問題的數值求解。首先通過分數階變分法導出了該問題的必要條件,得到了相應的分數階Hamilton系統(tǒng)。進一步,針對實際應用中廣泛出現的具有二次型性能指標的分數階線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問題,給出了一種基于移位分數次Jacobi多項式的數值求解方法,分析了其分數階變分的收斂性。數值試驗證實了該方法具有指數精度。
【學位單位】：湘潭大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2015
【中圖分類】：O241.82
【部分圖文】：

圖 2.1 Gamma函數在區(qū)間( 5,5]上的圖形Beta函數t函數又稱為第一類歐拉積分，其定義如下。.2 對任意Re(z) > 0,Re(ω) > 0，Beat函數B(z,ω)定義為B(z, ω) =∫10τz 1(1 τ )ω 1dτ. 了Beat函數的三維圖形。Beta函數滿足如下性質：Beta函數關于變量z、ω對稱，通過變量變換可得B(z,ω) = B(ωBeta函數與Gamma函數之間的關系為B(z, ω) =Γ(z)Γ(ω)Γ(z + ω).

數Mittag-Leffler函數Eα(z)。在圖2.3中，展示了α取不同值時單參數Mittag-Leffler函數的曲線。Mittag-Leffler函數滿足如下性質：（1）對任意|z| < 1，廣義Mittag-Leffler函數滿足∫∞0e ttβ 1Eα,β(tαz)dt =1z 1.（2）單參數Mittag-Leffler函數對任意z ∈ C收斂。（3）對任意|z| < 1，單參數Mittag-Leffler函數的Laplace變換滿足∫∞0e ztEα(zα)dt =1z z1 α.

圖 2.4 sinc函數在區(qū)間[ 6,6]上的圖形對任意的h > 0，下面給出帶有均勻網格節(jié)點的移位sinc函數的表達式S(k, h)(z) = sinc(z khh), k = 0, ±1, ±2, . . . . (2.1函數在插值節(jié)點xj= jh處有如下結論S(k, h)(jh) = δkj={1, k = j,0, k = j.于函數f(x),x ∈ R，若級數C(f, h)(x) =∑k∈Zf(kh)S(k, h)(x)斂，則稱該級數為f(x)的Whittaker函數，并有如下定理。
【參考文獻】

相關期刊論文 前2條

1 徐明瑜;譚文長;;中間過程、臨界現象——分數階算子理論、方法、進展及其在現代力學中的應用[J];中國科學G輯:物理學、力學、天文學;2006年03期

2 常福宣,陳進,黃薇;反常擴散與分數階對流-擴散方程[J];物理學報;2005年03期

本文編號：2862402