我們主要研究平均曲率流應(yīng)用的相關(guān)問題,特別是對在這一類問題研究中新出現(xiàn)的一種流-平均曲率型流,做了進(jìn)一步的研究.同時(shí),我們用逆平均曲率流研究歐式空間中閉超曲面上Laplace和P-Laplace算子的第一特征值,在對逆平均曲率流的性質(zhì)做進(jìn)一步探討的基礎(chǔ)上,得到了兩個(gè)算子第一特征值的等周估計(jì).第一章,重點(diǎn)介紹幾何流理論及應(yīng)用的大背景.首先介紹Ricc流和Yamabe流及其應(yīng)用的相關(guān)背景,再對整個(gè)平均曲率流理論做了一個(gè)簡單的歸類,并簡要介紹了各類曲率流的主要理論和最新進(jìn)展,最后就我們最關(guān)心的平均曲率流應(yīng)用及幾個(gè)相關(guān)的公開問題做了整理.第二章,我們給出了歐式空間中星形閉曲面和凸錐面,以及旋轉(zhuǎn)對稱空間和旋轉(zhuǎn)對稱空間中星形閉曲面的一些基本事實(shí).第三章,我們研究平均曲率型流的垂直自由邊值問題.具體地,我們選取歐式空間凸錐面內(nèi)的一張星形超曲面,其邊界與錐面垂直相交,使其沿平均曲率型流發(fā)展.該問題最終歸結(jié)為一個(gè)帶垂直Neumann自由邊界條件的散度型拋物方程,通過帶Neumann邊界條件的拋物極大值原理,得到了該方程的模長和梯度的一致估計(jì),從而證得該流長時(shí)間存在,并最終指數(shù)收斂到球心位于錐的頂點(diǎn)的球面被錐截得的部分,而且在發(fā)展過程中始終保持它與錐面所圍區(qū)域的體積不變.第四章,我們研究旋轉(zhuǎn)對稱空間中的平均曲率型流.通過對旋轉(zhuǎn)對稱空間及旋轉(zhuǎn)對稱空間中閉超曲面的幾何性質(zhì)的全面了解,我們定義了旋轉(zhuǎn)對稱空間中的平均曲率型流,證得了該流在所有解存在的時(shí)間區(qū)間上,始終保持運(yùn)動(dòng)曲面所圍區(qū)域的體積不變,表面積遞減.在初始星形的條件下,該流歸結(jié)為定義在球面上的散度型拋物方程的初值問題,通過極大值原理得到了該方程的模長和梯度的一致估計(jì),最終證得該流長時(shí)間存在并指數(shù)收斂到一個(gè)特定球面,進(jìn)而推廣了之前Guan-Li關(guān)于該流在空間形式中的結(jié)果.第五章,用逆平均曲率流研究歐式空間中閉超曲面上Laplace和P-Laplace算子的第一特征值.首先我們得到了空間形式中這兩個(gè)特征值沿一般形式的平均曲率流的發(fā)展方程,統(tǒng)一了之前這方面的結(jié)果.其次我們證明了一個(gè)沿著逆平均曲率流保持的新不等式關(guān)系,在得到兩個(gè)特征值沿流的單調(diào)量的基礎(chǔ)上,借助于該不等式關(guān)系最終得到了兩個(gè)特征值的最優(yōu)等周估計(jì).
【學(xué)位單位】：湖北大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類】：O186.1
【部分圖文】：

圖３．１星形曲面形變?yōu)榍蛎嫔弦徊糠??旅??
【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前1條

1 ;The Inverse Mean Curvature Flow in Rotationally Symmetric Spaces[J];Chinese Annals of Mathematics(Series B);2011年01期

本文編號：2855070