自然界和人類社會(huì)很多現(xiàn)象都可以用發(fā)展型偏微分方程來描述,例如描述流體湍流現(xiàn)象的Navier-Stokes方程,用于研究股票價(jià)格變化的Black-Scholes方程等.研究這些發(fā)展型偏微分方程不僅能為我們認(rèn)識(shí)和理解各種自然和社會(huì)現(xiàn)象提供理論基礎(chǔ),而且也為我們利用和控制這些自然和社會(huì)現(xiàn)象的演化提供有效的手段和工具.本博士學(xué)位論文研究了幾類發(fā)展型偏微分方程的長(zhǎng)時(shí)間行為,主要考慮了幾類方程全局吸引子的存在性,解的爆破,隨機(jī)吸引子的存在性等. 第一章,介紹了本文所研究的幾類發(fā)展型偏微分方程的演變歷史和研究進(jìn)程,回顧了無窮維動(dòng)力系統(tǒng)吸引子的基本概念和刻畫吸引子的基本方法,并簡(jiǎn)要說明了解的爆破現(xiàn)象,最后介紹了本文研究的主要內(nèi)容和文中常用的函數(shù)空間以及一些重要的不等式. 第二章,研究了在實(shí)軸R上定義的阻尼BBM方程全局吸引子的存在性,得到了全局吸引子在空間H1(R)∩W1,p(R)中的存在性,并且證明全局吸引子在空間H2(R)∩W2,p(R)中的有界性.由于我們考慮的問題定義在全空間上,此時(shí)Sobolev緊嵌入定理不成立,我們采用截尾估計(jì)的辦法證明了阻尼BBM方程的Cauchy問題的解半群是ω-極限緊的,然后我們使用高低頻分解等調(diào)和分析技巧,證明Cauchy問題的解的低頻部分趨向于零,而高頻部分則有更高的正則性,最后聯(lián)合截尾估計(jì)和漸近正則性得到阻尼BBM方程的Cauchy問題吸引子的存在性. 第三章,研究了實(shí)軸R上分?jǐn)?shù)階弱耗散KdV方程的Cauchy問題(H2(R),H5(R))全局吸引子的存在性.相比較于經(jīng)典的KdV方程,本章所研究的方程多出了一個(gè)耗散項(xiàng),但其耗散性又比KdV-Burgers方程弱.因此,解決弱耗散KdV方程的Cauchy問題的全局吸引子的存在性問題要克服幾個(gè)困難.首先,由于分?jǐn)?shù)階Laplace算子是非局部算子,故處理耗散項(xiàng)Λ2αu時(shí)會(huì)帶來一定困難；另外,由于方程定義在整個(gè)實(shí)軸R上,Solobev緊嵌入定理不再成立,必須證明解的漸近緊性而取代通常證明緊性的方法,我們通過建立截尾估計(jì)得到解半群在H2(R)中相對(duì)緊,得到(H2(R),H2(R))吸引子的存在性,然后借助于ut的Holder連續(xù)性得到解半群在H5(R)中的漸近緊性.借助于KdV方程的守恒律,解半群光滑效應(yīng)和交換子估計(jì),通過迭代得到解H5(R)有界,從而得到(H2(R),H5(R))全局吸引子的存在性,這個(gè)結(jié)果對(duì)于方程來說是最佳的,這是因?yàn)榻獾恼齽t性比外力項(xiàng)高三階. 第四章,研究了一類廣義Camassa.Holm方程Cauchy問題強(qiáng)解的爆破準(zhǔn)則,借助于方程的爆破準(zhǔn)則,給出該方程的解在有限時(shí)刻爆破的一個(gè)充分條件,并對(duì)爆破時(shí)間進(jìn)行了估計(jì),最后給出該方程Cauchy問題強(qiáng)解全局存在的一個(gè)充分條件.與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比較,我們主要克服了兩方面的困難.一是方程中的高階非線性耗散項(xiàng)ukuxxx,(k+1)uk-1uxuxx和對(duì)流項(xiàng)(k+2)ukuk的非線性作用;二是非線性項(xiàng)uk-2(t,x)的符號(hào)不確定,而在經(jīng)典的Camassa-Holm方程(k=1)和lNovikov方程(k=2)中是沒有該非線性項(xiàng)uk-2(t,x)的. 第五章,研究了一類具有加性噪聲非自治反應(yīng)擴(kuò)散方程初邊值問題解的長(zhǎng)時(shí)間行為,建立了H01隨機(jī)吸引子的存在性準(zhǔn)則.針對(duì)方程中非線性項(xiàng)的增長(zhǎng)階是任意的,并且不能得到解的更高階正則性,而方程又是非自治方程,我們通過建立解的一些新的估計(jì)來證明初邊值問題的解滿足C-條件,從而證明相應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)是ω-極限緊的,最后得到隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程隨機(jī)吸引子的存在性.
【學(xué)位單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類】：O175
【文章目錄】：
摘要
Abstract
1 緒論
    1.1 相關(guān)背景知識(shí)
    1.2 動(dòng)力系統(tǒng)
    1.3 本文安排
    1.4 函數(shù)空間及相關(guān)不等式
2 BBM方程全局吸引子的高階正則性
    2.1 引言
1（R）n W^1,p（R）中的吸收集'>    2.2 H¹（R）n W^1,p（R）中的吸收集
    2.3 截尾估計(jì)
    2.4 漸近正則性估計(jì)
    2.5 吸引子的存在性
3 分?jǐn)?shù)階弱耗散KdV方程的全局吸引子
    3.1 引言
    3.2 交換子估計(jì)
    3.3 吸收集的存在性
2（R）,H²（R））全局吸引子'>    3.4 （H²（R）,H²（R））全局吸引子
2（R）,H⁵（R））全局吸引子'>    3.5 （H²（R）,H⁵（R））全局吸引子
4 弱耗散廣義Camassa-Holm方程解的爆破
    4.1 引言
    4.2 預(yù)備定理
    4.3 解的爆破
5 隨機(jī)非自治反應(yīng)擴(kuò)散方程的隨機(jī)吸引子
    5.1 引言
    5.2 預(yù)備定理
    5.3 耗散性估計(jì)
    5.4 吸引子存在性
6 總結(jié)和展望
致謝
參考文獻(xiàn)
附錄1 攻讀博士期間發(fā)表的論文
附錄2 攻讀博士學(xué)位期間參與的科研項(xiàng)目

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本文編號(hào)：2829963