【摘要】：在數(shù)據(jù)分析中,我們常常碰到右刪失或者左截?cái)鄶?shù)據(jù)問題,它們?cè)谏娣治觥⑨t(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及工程可靠性統(tǒng)計(jì)中具有重要應(yīng)用。過去的大部分文獻(xiàn)討論的是右刪失數(shù)據(jù),而近十幾年來左截?cái)鄶?shù)據(jù)越來越受到大家的關(guān)注。左截?cái)鄶?shù)據(jù)下,有很多文獻(xiàn)都構(gòu)造了條件分布函數(shù)、條件分位數(shù)和回歸函數(shù)的估計(jì)量,建立了它們的大樣本性質(zhì)。本文在左截?cái)鄶?shù)據(jù)下,分別研究了條件分位數(shù)的估計(jì)方法和線性回歸模型中的參數(shù)估計(jì)和變量選擇方法,以便進(jìn)一步補(bǔ)充和完善相關(guān)的方法和理論。具體涉及以下幾個(gè)方面。本文的第二章在左截?cái)嗒?dú)立數(shù)據(jù)下,構(gòu)造了條件分布函數(shù)、條件概率密度函數(shù)和條件分位數(shù)函數(shù)的加權(quán)雙核局部線性估計(jì)量,建立了這些估計(jì)量的漸近正態(tài)性。YuJones(1998)構(gòu)造了條件分布函數(shù)的雙核局部線性(DKLL)估計(jì)量,并在完全數(shù)據(jù)下,研究了條件分位數(shù)的雙核局部線性(DKLL)估計(jì)量的大樣本性質(zhì)。由于雙核局部線性DKLL估計(jì)方法是用局部線性方法得到的,因此它和核估計(jì)方法Nadaraya-Watson(N-W)相比,具有一些局部多項(xiàng)式估計(jì)方法的良好的性質(zhì),比如邊界點(diǎn)估計(jì)上的自動(dòng)調(diào)節(jié)等特性。然而,到目前為止,即使對(duì)獨(dú)立樣本,也沒有看到相關(guān)文獻(xiàn)在左截?cái)鄶?shù)據(jù)下,研究條件分布函數(shù)和條件分位數(shù)的雙核局部線性DKLL估計(jì)量,因此受YuJones(1998)文章的啟發(fā),本論文的第二章在左截?cái)嗒?dú)立樣本下,利用雙核局部線性方法構(gòu)造了條件分布函數(shù)、條件概率密度函數(shù)和條件分位數(shù)的非參估計(jì)量,進(jìn)而建立了它們的漸近正態(tài)性質(zhì)。在左截?cái)嗒?dú)立數(shù)據(jù)下,設(shè){(Xk,Yk,Tk,),k≥ 1}來自總體(X,Y,T)的一列隨機(jī)向量,這里T為截?cái)嘧兞�。我們假設(shè)T和(X,Y)是相互獨(dú)立的,并且T有連續(xù)的分布函數(shù)。在左截?cái)嗄Ｐ椭?對(duì)于i= 1,2,...,N,生存時(shí)間Yi被截?cái)嘧兞縏i干擾,當(dāng)Yi ≥ Ti時(shí),Yi和Ti都能觀察到,而當(dāng)YiTi時(shí),Yi和Ti都不能觀察到。由于截?cái)嗟陌l(fā)生,N是未知的,n是實(shí)際觀察到的樣本容量,設(shè)θ = P(Y ≥T)表示隨機(jī)變量Y被觀測(cè)到的概率。根據(jù)YuJones提出的條件分布函數(shù)的雙核局部線性估計(jì)方法,我們知道F(y|x)的WDKLL估計(jì)量Fh1,h2(y|x)=β0是下列優(yōu)化問題的解從而ζp(x)的加權(quán)雙核局部線性估計(jì)量為通過代數(shù)化簡(jiǎn),得進(jìn)而條件概率密度函數(shù)f(y|x)的估計(jì)為其中于是我們可以分別建立Fh1,h2(y|x),fh1,h2(y|x),ξp,n(x)的漸近正態(tài)性,即此外,有限樣本下的數(shù)值模擬得出的結(jié)論也與我們的理論結(jié)果一致。第二章的結(jié)果已發(fā)表于《Communications in Statistics-Theory and Methods》。左截?cái)嗒?dú)立樣本的假設(shè)在某些情況下可能是合理的,例如,生存分析中的數(shù)據(jù)來自一個(gè)互不相干的群體時(shí)。然而,在生存分析中,我們碰到的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)很多是相依的。例如,從從家庭成員中采取的樣本數(shù)據(jù),還有對(duì)同一個(gè)體反復(fù)地測(cè)量得到的樣本數(shù)據(jù),更常見的是隨著時(shí)間記錄獲取的樣本數(shù)據(jù),集群內(nèi)部個(gè)體的壽命通常也是相關(guān)的(見KangKoehler(1997),Cai et al(2000))。由此可見,在相依假設(shè)下,研究左截?cái)嗄Ｐ偷慕y(tǒng)計(jì)推斷問題有著十分深刻的理論和實(shí)際意義。本論文的第三章在左截?cái)鄶?shù)據(jù)下,利用雙核局部線性估計(jì)方法構(gòu)造了條件分布函數(shù),條件分位數(shù)的WKDLL估計(jì)量,并且在觀察樣本為α混合序列的情況下,利用混合序列的相關(guān)概率不等式和Bernstein分塊方法,建立上述估計(jì)量的漸近正態(tài)性質(zhì),得到Fh1,h2(y|x),ξp,n(x)的如下結(jié)果此外,有限樣本下的數(shù)值模擬結(jié)果顯示,我們的估計(jì)比一般的核估計(jì)更好,從而也證實(shí)了我們方法的有效性。第三章的內(nèi)容已投稿到《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》(中文版),目前在審稿中。分位數(shù)回歸方法最初由KoenkerBassett(1978)提出,之后在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及生物醫(yī)藥等各個(gè)領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。Koenker(2005)的專著對(duì)QR方法進(jìn)行了詳細(xì)的討論。QR方法的不足之處是估計(jì)的效率有時(shí)會(huì)很低,于是ZouYuan(2008)在線性模型的背景下,提出了綜合不同點(diǎn)處的分位數(shù)的復(fù)合分位數(shù)回歸(CQR)方法,來估計(jì)線性模型的系數(shù)。CQR方法一方面繼承了QR方法的穩(wěn)健性,另一方面顯著的改進(jìn)了QR估計(jì)的效率,是一種有效且穩(wěn)健的參數(shù)估計(jì)方法。近年來,國(guó)內(nèi)外關(guān)于QR和CQR方法的研究非常熱門。但是,就我們所知,很少有文獻(xiàn)研究左截?cái)鄶?shù)據(jù)下的復(fù)合分位數(shù)問題。受ZouYuan(2008)文章的啟發(fā),本文的第四章在左截?cái)鄶?shù)據(jù)下,構(gòu)造了線性回歸模型的回歸系數(shù)的復(fù)合分位數(shù)估計(jì)量,然后我們利用適應(yīng)性Lasso懲罰方法,來建立穩(wěn)健的模型,從而得到適應(yīng)性Lasso懲罰復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)量的Oracle性質(zhì)。在左截?cái)鄶?shù)據(jù)下,我們考慮下面的線性回歸模型:其中X是一個(gè)p ×1的協(xié)變量隨機(jī)向量,β是p ×1的未知參數(shù)的向量,ε是一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng),它與協(xié)變量X是相互獨(dú)立。則回歸系數(shù)β的復(fù)合分位數(shù)估計(jì)量βCQR是下列優(yōu)化問題的解基于參數(shù)的復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)βCQR,結(jié)合適應(yīng)性的lasso懲罰函數(shù)來進(jìn)行變量選擇和參數(shù)估計(jì),則適應(yīng)性的lasso懲罰復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)可以記作βACQR,它是下列優(yōu)化問題的解在一定的條件下,我們建立了βCQR的漸近性質(zhì)并且建立了βACQR的收斂速度和Oracle性質(zhì)((?)-相合性)(?)(變量選擇相合性)(?)(漸近正態(tài)性)(?)最后,我們通過有限樣本下的數(shù)值模擬研究,展示了我們提出的方法的優(yōu)點(diǎn)。第四章的內(nèi)容已投稿到《Statistical Papers》,已經(jīng)小修,等待接受。由于左截?cái)鄶?shù)據(jù)及其他不完全數(shù)據(jù)下還有許多統(tǒng)計(jì)推斷問題等待我們進(jìn)一步探討和研究。本文的第五章對(duì)未來的工作做了如下的展望。一、左截?cái)嘞嘁罃?shù)據(jù)下線性回歸模型和半?yún)?shù)變系數(shù)部分線性模型的復(fù)合分位數(shù)回歸問題;二、左截?cái)嘤覄h失同時(shí)發(fā)生數(shù)據(jù)下條件分布函數(shù)和條件分位數(shù)的雙核局部線性估計(jì),以及分位數(shù)回歸問題。
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§３．４．２正態(tài)性驗(yàn)證逡逑在這一小節(jié)中，我們通過正態(tài)Ｑ－Ｑ圖來比較兩個(gè)估計(jì)量的漸近正態(tài)性效果。在逡逑圖３．３中，�。绣澹藉澹埃�，邋０邋？邋６０％以及ｎ邋＝邋５００，在：ｒ邋＝邋１和ｐ邋＝邋０．５下，分別畫出Ｎ－Ｗ估逡逑計(jì)量以及ＷＤＫＬＬ估計(jì)量的正態(tài)Ｑ－Ｑ圖；在圖３．４中，取ｐ邋＝邋０．５和ｎ邋＝邋５００，分別逡逑在６／邋３０％和。９０％下，畫出了邋６．５（１）的ＷＤＫＬＬ估計(jì)量的正態(tài)Ｑ－Ｑ圖；圖３．５中，逡逑取Ｐ邋＝邋０．５和０邋６０％，分別在ｎ邋＝邋２００和＝邋８００下，畫出了N希擔(dān)ǎ保┑模祝模耍蹋坦厘義霞屏康惱眩淹跡煌跡常常跡常抵械氖荻際腔冢灣澹藉澹擔(dān)埃暗鬧馗礎(chǔ)ｅ義洗油跡常撤⑾鄭諳嗤南亂約埃邢攏祝模耍蹋坦蘭屏康慕ソ緣膩義閑Ч齲危墜蘭屏康慕ソ緣男Ч�；从哇E常床荒芽闖觶保釹嗤保霸藉義洗�，，ＷＤＫＬＬ固m屏康慕ソ緣男Ч膠茫淮油跡常悼闖觶繃夏客�，ＷＤＫＬＬ估辶x霞屏康慕ソ孕Ч孀牛鈐醬�，效果阅z謾ｅ義希矗靛義

本文編號(hào)：2583662