發(fā)布時間：2017-03-19 02:08

  本文關(guān)鍵詞：幾類具非線性源的快擴散方程（組）解的熄滅研究，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：反應擴散方程是一類重要的偏微分方程,是自然界中普遍存在的擴散現(xiàn)象的一種數(shù)學抽象.反應擴散方程涉及了許多科學研究領(lǐng)域,如化學,物理,生物群體動力學,金融學,經(jīng)濟學等等.近年來,國內(nèi)外眾多數(shù)學家對具適當初邊值條件的反應擴散方程進行了研究,并且在解的局部存在與惟一性,整體存在性,正則性,爆破,熄滅與淬滅等方面取得了豐富的成果.特別地,由非線性擴散項,反應項,吸收項,對流項,邊界項以及它們的耦合所導致的解的奇性引起了眾多學者的興趣.時至今日,對反應擴散方程解的奇性的研究仍是一個十分活躍的領(lǐng)域.本文將研究幾類源于實際問題的非線性反應擴散方程(組)解的有限時刻熄滅問題,考察非線性擴散,非線性源和非線性吸收項對解的熄滅的綜合影響.主要內(nèi)容共分為四章.第一章為緒論.我們首先介紹本文將要研究問題的實際背景和發(fā)展狀況,然后概述我們所要討論的問題和所使用的方法.在第二章中,我們研究一類具非線性非局部源和吸收項的快擴散拋物方程在Dirichlet邊界條件下解的熄滅其中0m1,a,b,q,r0,Ω是RN(N≥1)中具光滑邊界Ω的有界區(qū)域,并且初值U0∈L∞。(Ω)是非負非平凡的.當吸收項是線性函數(shù)(r=1)時,經(jīng)過變換v(x,t)=ebtu(x,t)就可以將吸收項去掉,從而將問題轉(zhuǎn)化為不帶吸收項的情形.然而當吸收項是非線性函數(shù)時,判斷相應問題的解能否在有限時刻熄滅將變得更加復雜.結(jié)合積分估計技巧和著名的Gagliardo-Nirenberg插值不等式,人們僅可以對該問題的解是否會在有限時刻熄滅給出部分回答.為了能夠更加清晰地刻畫非線性擴散項、非局部源項和非線性吸收項對解熄滅的綜合影響,給出臨界熄滅指標,我們首先對問題建立弱比較原理.由于當0q1時,非局部源項不是Lipschitz連續(xù)的,我們無法對所有解建立比較原理,而只能對一些滿足特殊條件的上、下解建立比較原理.基于這樣的弱比較原理,我們進一步通過構(gòu)造不熄滅的下解或熄滅的上解來討論問題的解是否熄滅,從而就問題(1)的解是否熄滅對其指標給出較為完整的分類.這一章的主要結(jié)果如下：定理1.假設(shè)下述條件之一成立：(i)qm.(ii)min{q,1)r,或q=r1且a|Qlb.則對適當小的初值uo(x),問題(1)的解在有限時刻熄滅.定理2.假設(shè)qm.如果gr,或g=r且baγ,則對任意非負初值,(1)至少有一個不熄滅的解.這里是下述特征值問題滿足的第一特征函數(shù).定理3.假設(shè)g=m.(ⅰ)如果aμ1,則對任意非負初值,問題(1)的解都在有限時刻熄滅.(ⅱ)砂如果qr1,則當aμ=1時,對任意非負初值,問題(1)的解在有限時刻熄滅;而當a|Ω| ≤λ1時,(1)的解滿足limt→+∞‖u(·,t)‖2=0.這里λ1是-△在Ω上具齊次Dirichlet邊界條件的第一特征值.(ⅲ)如果qr且aμ1,或者q1≤r且aμ=1,則對任意正初值u0(x),(1)至少有一個不熄滅的解.這里是下述問題的惟一正解-△φ(x)=1, x∈Ω；φ(x)=0, x∈(?)Ω.在第三章中,我們將上一章中得到的結(jié)果進行推廣,考慮帶非局部源和吸收項的非牛頓多方滲流方程解的熄滅問題其中a,b,m,q,r0,0m(p-1)1,Ω是RN(N≥1)中具光滑邊界(?)Ω的有界區(qū)域,初值u0(x)是滿足u0m∈L∞(Ω)∩W01,p(Ω)的非負非平凡函數(shù).我們首先借助Leary-Schauder不動點定理研究了該問題弱解的局部存在惟一性、整體存在性及整體有界性,然后利用上、下解方法研究該問題解的熄滅性質(zhì).同第二章遇到的困難類似,我們也只能對某些特殊的上、下解進行比較.基于這樣的弱比較原理,我們通過構(gòu)造熄滅的上解或不熄滅的下解來討論解是否會熄滅,從而就問題(2)的解是否熄滅對其指標給出較為完整的分類.具體結(jié)果如下：定理4.假設(shè)下列條件有一個是成立的:(i)qm(p-1).(ii)min{q,1)r,或者q=r1且a|Ω|b.那么對于適當小的初值,問題(2)的解都在有限時刻熄滅.定理5.假設(shè)qm(p-1).如果qr或者q=r且baγ成立,那么對于任意非負初值,問題(2)至少存在一個不熄滅的解.這里是下述特征值問題滿足||φ1||L∞(Ω)=1的第一特征函數(shù).定理6.假設(shè)q=m(p-1).(ⅰ)如果aK1,則對于任意非負初值,問題(2)的解都在有限時刻熄滅.(ⅱ)如果gr1,則當aκ=1時,對任意非負初值,問題(2)的解在有限時刻熄滅;而當alΩ|≤入1時,(2)的解滿足limt→+∞‖u(·,t)‖2=0.這里入10是p-Laplace算子在Ω上的第一特征值.()ⅲ如果gr,aK1,或者g1≤r,aK=1成立,則對于任意正初值,問題(2)至少存在一個不熄滅的解.這里是下述問題的惟一正解-div(|%濺諀p-2%濺

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