【摘要】：本文以粘彈性材料的數(shù)學模型為研究對象.主要討論這些模型的適定性以及與之相關的控制問題.所謂粘彈性材料,就是在荷載的作用下,既有瞬時彈性響應.又有持續(xù)內(nèi)部摩擦效應的一類材料.這類材料具有所謂的記憶功能.這種粘彈性或者記憶功能在數(shù)學上通常由積分-微分項加以描述和刻畫,其中A是諸于△,△2等的某個微分算子.g是所謂的記憶核函數(shù).當t=+∞時,我們稱之為無限記憶；而當0t+∞時,我們稱之為有限記憶.所以,我們論文題目中所說的粘彈性模型,主要是指含有(1)這一項的積分-微分方程的某些初邊值問題.近半個世紀以來,粘彈性力學及其相應的數(shù)學理論得到了快速的發(fā)展.目前,關于粘彈性模型的研究如火如荼,研究結(jié)果層出不窮.但由于粘彈項(1)的出現(xiàn)大大提高了問題的復雜程度,目前仍然有很多值得進一步研究的問題.這也為數(shù)學工作者們提供大顯身手的舞臺.本文的主要內(nèi)容如下：第1章從適定性和控制兩個方面介紹問題的研究背景及本文的主要工作.第2章是預備知識,集中介紹本文要用到的數(shù)學術語和數(shù)學工具.第3章,我們首先討論一類具內(nèi)部反饋時滯的粘彈性波方程解的存在唯一性和能量衰減性.解決了M. Kirane和B. Said-Houari于2011年在Z. Angew. Math. Phys雜志上提出的公開問題,然后將相關的一些結(jié)論簡單推廣到邊界反饋模型和四階Euler-Bernoulli粘彈性板模型上.接下來,為了進一步討論粘彈項和源項之間的競爭關系,我們討論了一類具非線性源的Euler-Bernoulli板模型的Blow-up性質(zhì),獲得了一些對粘彈項和源項競爭的直觀認識.而在第4章中，我們研究了一類Euler-Bernoulli粘彈性模型的相關控制問題.具體來說,我們主要討論了近似能控性和多點觀測兩方面的問題.對于近似能控性的討論,我們先定義合適的函數(shù)空間Hθ，k,利用分離變量法，把所討論系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)的解精確寫出并討論其在所定義空間中的一些特有性質(zhì).然后，，利用對偶關系和Hahn-Banach定理,得到系統(tǒng)在乘積空間Hθ,k2中的邊界近似能控性結(jié)果.至于多點觀測問題,我們先把系統(tǒng)的解寫成一種特殊的級數(shù)形式,然后得到一個僅有單個觀測點的能觀性不等式,進而得到多個觀測點的能觀性不等式.最后,通過合理定義“觀測信息量”,從信息論的角度對所得結(jié)果給出了合理解讀,同時也解釋了工程師們在實驗中所獲得的客觀現(xiàn)象.
【學位授予單位】：湖南師范大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：TB301

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本文編號：2541556