發(fā)布時間：2019-02-17 12:11

【摘要】：本文研究了帶電場的Euler-Poisson方程組的初值問題的經典解的爆破以及可壓縮Navier-Stokes方程組的初值問題在Sobolev空間中的非存在性問題,共包含兩部分內容。第一部分考慮帶電場的完全的Euler-Poisson方程組以及等熵的Euler-Poisson方程組的初值問題。我們證明了在初值滿足一定的條件下,該初值問題的經典解在有限時間內會爆破。由于Euler-Poisson方程組是由Euler方程組耦合上重力場或電場而得到,而重力場或電場均是非局部項,其破壞了密度的緊支集的有限傳播,這使得Sideris[39]證明Euler方程組的爆破的方法在處理Euler-Poisson方程組的爆破時失效。Sideris的方法包含兩個關鍵的元素,一個是:密度的緊支集的有限傳播,另一個是:動量的徑向分量的估計。其中動量的徑向分量的估計可以用內能的上界估計代替。因此,我們需要找到一個新的元素來替代密度的緊支集的有限傳播。對于本問題,我們需要克服兩個困難,一個是估計由電場引出的非局部項,另一個是密度不具有緊支集的情況下如何證明爆破。這兩個困難是結合在一起的。我們的做法是:應用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式來處理由電場引出的非局部項進而來估計內能的上界,應用Chemin不等式給出內能的下界估計。最后通過比較內能的上下界的系數(shù),確定出初值在滿足一定的條件下,帶電場的Euler-Poisson方程組的初值問題的光滑解會在有限時間內爆破。第二部分研究可壓縮任意維數(shù)的完全Navier-Stokes方程組和一維等熵的Navier-Stokes方程組的初值問題在Sobolev空間中的非存在性問題。辛周平[45],Cho和Jin[61]證明了:在初始密度具有緊支集的前提下,可壓縮任意維數(shù)的完全Navier-Stokes方程組和一維等熵的Navier-Stokes方程組的初值問題的解在某類Sobolev空間中會爆破。我們的工作證明了在初始密度具有緊支集的前提下,有熱交換的可壓縮任意維數(shù)的完全Navier-Stokes方程組在此類Sobolev空間中無解以及一維等熵的Navier-Stokes方程組在初值滿足一定的條件下在此類Sobolev空間中無解。我們的辦法是首先通過一個觀察將初值問題化成了一個有界區(qū)域上的超定的積分微分方程組的初邊值問題,然后定義一個適當?shù)难貢r間導數(shù)退化的拋物或積分微分算子并建立相應的Hopf引理和強極值原理,最終用反證法完成證明。
[Abstract]:In this paper, we study the blow-up of the classical solution of the initial value problem of the Euler-Poisson equations with electric field and the nonexistence of the initial value problem of the compressible Navier-Stokes equations in the Sobolev space, which contains two parts. In the first part, we consider the initial value problem of complete Euler-Poisson equations with electric field and Euler-Poisson equations with equal entropy. We prove that the classical solution of the initial value problem will burst in finite time if the initial value satisfies certain conditions. Because the Euler-Poisson equations are derived from the coupling of the Euler equations with the gravity field or electric field, the gravity field or electric field is a nonlocal term, which destroys the finite propagation of the compact support set of the density. This makes Sideris [39] prove that the method of blow-up of Euler equations is invalid when dealing with the blow-up of Euler-Poisson equations. Sideris's method contains two key elements, one is the finite propagation of compact support set of density, The other is the estimation of the radial component of momentum. The estimation of radial component of momentum can be replaced by the upper bound estimation of internal energy. Therefore, we need to find a new element to replace the finite propagation of compact set of density. For this problem, we need to overcome two difficulties, one is to estimate the nonlocal term derived from the electric field, and the other is how to prove the explosion when the density does not have a compact support set. The two difficulties are combined. Our approach is to use the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality to deal with the nonlocal term derived from the electric field and then to estimate the upper bound of the internal energy, and to use the Chemin inequality to give the lower bound estimate of the internal energy. Finally, by comparing the coefficients of the upper and lower bounds of the internal energy, it is determined that the smooth solution of the initial value problem of the Euler-Poisson equations with electric field will burst in a finite time under certain conditions. In the second part, the nonexistence of the initial value problem for the complete Navier-Stokes equations with compressible arbitrary dimension and the one-dimensional isentropic Navier-Stokes equations in Sobolev space is studied. Xin Zhouping [45], Cho and Jin [61] prove that if the initial density has compact support, The solution of the initial value problem for the complete Navier-Stokes equations with compressible arbitrary dimension and the one-dimensional isentropic Navier-Stokes equations will burst in a certain Sobolev space. Our work proves that under the condition that the initial density has compact support set, The complete Navier-Stokes equations with compressible arbitrary dimension with heat exchange have no solution in this kind of Sobolev space and the one-dimensional isentropic Navier-Stokes equations have no solution in this kind of Sobolev space under the condition that the initial value satisfies certain conditions. Our approach is to first turn the initial value problem into an initial-boundary value problem for an overdetermined system of integro-differential equations on a bounded domain. Then a proper parabolic or integro-differential operator degenerate along the time derivative is defined and the corresponding Hopf Lemma and strong extremum principle are established.
【學位授予單位】：清華大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O175.8

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3 鐘明n，

本文編號：2425147