本文關鍵詞：非均質材料的光滑多尺度有限元法研究，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

《吉林大學》 2015年

非均質材料的光滑多尺度有限元法研究

李霄琳  

【摘要】：在自然界和人類的生產生活中存在著各種各樣的非均質材料，比如人類和動物的骨骼、多孔介質、復合材料和金屬合金等。這類材料的最小特征尺寸普遍很小，都是微米級，而最大特征尺寸(所構成結構的尺寸)往往達到米級甚至更大，它們之間跨越了多個數(shù)量級。如果采用常規(guī)數(shù)值算法(有限元法、有限差分法等)在單一尺度上對此類非均質材料的力學性能進行分析，則要求所離散的網格尺寸小于非均質材料的最小特征尺寸，才可以得到問題的精確解。由此，導致單元數(shù)量過多，問題自由度過大，計算效率過低，甚至無法求解。為了解決這類問題，各種多尺度升尺度算法被相繼提出，如：均勻化方法、非均質多尺度方法、多尺度有限元法、變分多尺度方法等。其中，多尺度有限元法由于無周期性假設的限制，具有降尺度計算簡單，效率高以及便于并行計算等明顯優(yōu)勢，是當前計算力學領域的研究熱點。 本文基于多尺度有限元法的基本思想，在組裝粗網格單元宏觀矩陣時引入梯度光滑技術，提出了光滑多尺度有限元法。并且在其理論框架的基礎上，進一步提出了光滑多尺度隨機配點法、光滑擴展多尺度有限元法和混合光滑擴展多尺度有限元法。分別應用于地下水流動分析、裂隙巖體滲流分析、裂隙巖體隨機滲流分析、功能梯度材料板的彈性力學分析和功能梯度壓電材料板的力電耦合分析中。相應算例分析表明：在進行非均質材料的力學性能研究時，同傳統(tǒng)數(shù)值方法相比，所提出的算法在保證計算精度的同時，明顯節(jié)省了計算時間，提高了計算效率，是分析非均質材料力學問題的有效方法。 本文的主要工作包括： 1、提出了求解含有震蕩參數(shù)橢圓型問題的光滑多尺度有限元法。該算法的基本思想是通過數(shù)值構造多尺度基函數(shù)，使其滿足退化的橢圓方程，捕捉參數(shù)的空間變異性。引入梯度光滑技術組裝粗網格單元宏觀矩陣，由此將多尺度基函數(shù)所攜帶的細尺度信息有效的反映到粗尺度上，使問題在粗網格上計算的結果具有良好的精度。梯度光滑技術的引入使光滑多尺度有限元法在獲得離散點處的多尺度基函數(shù)值后不需要同傳統(tǒng)多尺度有限元法一樣通過插值計算基函數(shù)的連續(xù)形式，，也不需要求解基函數(shù)的導數(shù)，同時將研究域的面(體)積分轉化為線(面)積分，軟化了結構的剛度矩陣，光滑子域的構造，進一步解析了材料的非均質性，由此提高了計算的精度和效率。對地下水流動問題的模擬驗證了算法的正確性和有效性。 2、提出了求解裂隙巖體滲流問題的光滑多尺度有限元法。通過在粗尺度模型上構建裂隙和孔隙兩套多尺度基函數(shù)，使其滿足各自的橢圓微分方程，以反映裂隙和孔隙材料的微觀非均質信息。在基函數(shù)構造時采用有限全局信息確定基函數(shù)邊界條件，使基函數(shù)在粗網格邊界上滿足材料非均質性的同時可以捕捉裂隙和孔隙內流體流動的全局耦合信息。最后利用梯度光滑技術構造光滑水頭梯度矩陣，并用于粗網格單元宏觀矩陣的組裝。對裂隙巖體滲流問題的模擬驗證了算法的有效性和高效性。 3、提出了求解裂隙巖體隨機滲流問題的光滑多尺度隨機配點法�？紤]到裂隙巖體骨架排列及裂隙分布的隨機、不均勻性，將裂隙巖體的滲流分析視為隨機問題。利用Karhunen-Loeve級數(shù)分解法對水力傳導度隨機場進行離散�；谙∈杈W格隨機配點法在隨機空間中選擇合適的配點，并進行合理組合，將裂隙巖體的隨機滲流問題轉化為指定配點處的確定性問題。采用光滑多尺度有限元法在配點處對問題進行求解，并對結果進行統(tǒng)計分析。數(shù)值模擬結果表明光滑多尺度隨機配點法在保證計算精度的同時計算效率明顯高于傳統(tǒng)隨機計算方法。 4、提出了光滑擴展多尺度有限元法并用于求解功能梯度材料三維彈性力學問題。通過在各坐標方向分別構造多尺度基函數(shù)，使其滿足相應的簡化控制方程，捕捉材料屬性的梯度變化性。此外，引入耦合附加項考慮固體變形時材料內部的體積膨脹和收縮效應，提高多尺度算法對模型真實變形狀態(tài)的模擬能力。采用三維梯度光滑技術推導帶有耦合附加項的光滑應變矩陣，用于組裝粗網格單元的宏觀矩陣，由此將梯度光滑技術引入到擴展多尺度有限元法中。數(shù)值算例結果表明光滑擴展多尺度有限元具有比傳統(tǒng)擴展多尺度有限元更高的計算精度和效率。 5、提出了求解功能梯度壓電材料力電耦合問題的混合光滑擴展多尺度有限元法。通過分別構造符合位移場和電勢場物理規(guī)律的位移和電勢多尺度基函數(shù)，反映材料不同物理參數(shù)的非均質信息。其中位移多尺度基函數(shù)采用光滑擴展多尺度有限元法構造，電勢多尺度基函數(shù)采用光滑多尺度有限元法構造。通過粗網格宏觀矩陣的組裝將兩場的微觀信息及兩場間的耦合作用同時反映到宏觀尺度上，使問題可以在粗尺度網格上得到高效準確的求解。數(shù)值算例結果證明了算法的正確性和可行性。

【關鍵詞】：
【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O357.3;O302
【目錄】：

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