本文選題：張量網(wǎng)絡(luò) + 張量網(wǎng)絡(luò)重正化群��； 參考：《中國科學(xué)院大學(xué)(中國科學(xué)院物理研究所)》2017年博士論文

【摘要】：強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系自半個(gè)世紀(jì)以來一直是大家的研究焦點(diǎn)。包含了高溫超導(dǎo),模特絕緣體相變、自旋電荷分離、量子自旋液體等熱點(diǎn)問題。赫伯德模型是研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的最簡單的模型,其性質(zhì)由動(dòng)能項(xiàng)與在位排斥項(xiàng)的相互競爭主導(dǎo)。赫伯德模型抓住了強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的核心,并且與凝聚態(tài)物理中的豐富的物理現(xiàn)象相關(guān),特別是高溫超導(dǎo)與模特絕緣體相變。赫伯德模型僅在一維與無窮維存在嚴(yán)格解,我們需要借助于數(shù)值方法輔助研究。密度矩陣重正化群方法(Density Matrix Renormalization Group,DMRG)是處理一維模型的重要方法,由于糾纏熵遵循面積律,通常情況下DMRG只能處理非常窄的準(zhǔn)一維體系。為了能夠更好地研究二維體系,張量網(wǎng)絡(luò)重正化方法被提出來,張量網(wǎng)絡(luò)重正化方法是一系列方法的統(tǒng)稱,不僅可以用于計(jì)算經(jīng)典統(tǒng)計(jì)模型的各種熱力學(xué)問題,也可以用于研究量子體系。本文內(nèi)容如下:第一章簡要介紹了 DMRG及各種常見的張量網(wǎng)絡(luò)重正化方法,張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)(Tensor Network State,TNS)與機(jī)器學(xué)習(xí)的相關(guān)背景。第二章介紹了軌道優(yōu)化的密度矩陣重正化方法,并研究了二維赫伯德模型。1992年White提出的DMRG是在實(shí)空間表象進(jìn)行計(jì)算,1996年向濤老師提出的動(dòng)量空間DMRG能較好地解決小U赫伯德模型,并能用于計(jì)算化學(xué)小分子,已經(jīng)成為量子化學(xué)領(lǐng)域的重要方法之一。一般來說,同一個(gè)物理態(tài)在不同的表象下,糾纏熵存在差異。我們?cè)趥鹘y(tǒng)的DMRG基礎(chǔ)上,引入了單粒子基變換,發(fā)展出軌道優(yōu)化的DMRG算法。在計(jì)算中,自動(dòng)尋找用于計(jì)算赫伯德模型的最優(yōu)表象。數(shù)值結(jié)果顯示,精度較實(shí)空間DMRG有了明顯的改善。在大家關(guān)心的中等強(qiáng)度耦合情況(U/= 4～8),能量精度提高了約一個(gè)數(shù)值級(jí),糾纏熵僅有實(shí)空間的一半。我們計(jì)算了不同尺寸L × = 4,6,8,10)下的精度與糾纏熵,并對(duì)得到的最優(yōu)表象進(jìn)行了分析,比較了單粒子密度矩陣元素分布特征,軌道之間的互信息特征。另外,我們也計(jì)算了在不同摻雜濃度下的結(jié)果。第三章從張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)表示的角度研究了統(tǒng)計(jì)模型中的對(duì)偶點(diǎn)。對(duì)于具有Zq對(duì)稱性的統(tǒng)計(jì)模型,可以直接從局部張量中獲得對(duì)偶點(diǎn)信息,幫助確定統(tǒng)計(jì)模型的相變點(diǎn)。對(duì)于二維鐘表模型,通過比較糾纏譜的方式給出近似的自對(duì)偶點(diǎn),并研究了它在大q下的漸近行為。在自對(duì)偶點(diǎn),局部張量的糾纏譜是離散傅里葉變換(DFT)的本征向量。由于量子力學(xué)中諧振子的哈密頓量是關(guān)于實(shí)空間與動(dòng)量空間對(duì)稱的,其本征態(tài)即是傅里葉變換的本征態(tài)。通過將諧振子本征態(tài)離散周期化,構(gòu)造出了一種新的自對(duì)偶模型。在Tc=1時(shí),對(duì)于模型中不同的參數(shù),我們將得到各種可能的自對(duì)偶點(diǎn)。Villian模型就是其中的一個(gè)特例。第四章介紹了受限玻爾茲曼機(jī)(Restricted Boltzmann Machine,RBM)態(tài)與張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)之間的等價(jià)性。RBM是機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中非常重要的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。Troyer研究組將RBM用作量子蒙特卡洛變分波函數(shù),所得的能量精度已經(jīng)超過了目前最好的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)投影糾纏對(duì)態(tài)(PEPS)算法。任何一個(gè)RBM變分波函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)TNS,但僅很小一類TNS,能找到其RBM對(duì)映。很多統(tǒng)計(jì)分布或量子模型,如伊辛模型、團(tuán)簇(cluster)態(tài)、toric code的22自旋液體基態(tài)都可以用RBM態(tài)嚴(yán)格地構(gòu)造出來。通過RBM與TNS之間的映射,我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于一個(gè)局域連接的RBM,糾纏熵滿足面積律。更為重要的是,Troyer研究組所使用的平移不變RBM波函數(shù)擬設(shè)不僅可以用于表達(dá)滿足體積律的糾纏熵,同時(shí)也能減少變分參數(shù)個(gè)數(shù)。RBM與TNS的聯(lián)系,為機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的發(fā)展提供了新的視角與工具,通過比較對(duì)應(yīng)的張量維度,我們發(fā)現(xiàn)深層玻爾茲曼機(jī)(Deep Boltzmann Machine)較RBM能表達(dá)更大的糾纏。另外,可以利用糾纏熵來分析數(shù)據(jù)集的特征。第五章,對(duì)前面各章進(jìn)行了總結(jié)。并對(duì)優(yōu)化軌道DMRG的應(yīng)用提出了一些設(shè)想。最后,我們認(rèn)為,機(jī)器學(xué)習(xí)與張量網(wǎng)絡(luò)在未來就會(huì)有更多的碰撞與融合。具有體積律糾纏熵表達(dá)能力是RBM非巨大優(yōu)勢。機(jī)器學(xué)習(xí)中所使用的各種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可能啟發(fā)我們構(gòu)造更好的波函數(shù)擬設(shè)。
[Abstract]:In this paper , we introduce the method of density matrix re - normalization , which is the most simple model in the field of quantum chemistry . In this paper , a new self - dual model is proposed by comparing the eigenstates of harmonic oscillators .

【學(xué)位授予單位】：中國科學(xué)院大學(xué)(中國科學(xué)院物理研究所)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O469

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本文編號(hào)：1821445