本文選題：解析解　切入點(diǎn)：有限差分算法　出處：《山東大學(xué)》2017年博士論文

【摘要】：近幾十年來(lái),分?jǐn)?shù)階微積分理論成功應(yīng)用于工程科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,比如電磁學(xué)、流體力學(xué)、粘彈性、反常擴(kuò)散和信號(hào)處理,呈現(xiàn)出欣欣向榮之勢(shì)。這表明分?jǐn)?shù)階微積分理論具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),體現(xiàn)了其不可替代性,關(guān)于這方面的理論和應(yīng)用研究已成為一個(gè)國(guó)際熱點(diǎn)問(wèn)題。相比較經(jīng)典的整數(shù)階微分算子,由于分?jǐn)?shù)階微分算子具有全局相關(guān)性或非局部的特性,故更適合于描述具有記憶性和遺傳特性材料的復(fù)雜力學(xué)行為。本文主要介紹分?jǐn)?shù)階微積分理論在粘彈性材料、流體力學(xué)、生物組織傳熱和激光加熱中的應(yīng)用。為了更好的分析這些反�，F(xiàn)象,通過(guò)合適的參數(shù)估計(jì)方法獲得了模型中未知參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)結(jié)果。首先,利用由分?jǐn)?shù)元組成的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系模型:分?jǐn)?shù)元模型,分?jǐn)?shù)階Maxwell模型,分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt模型和分?jǐn)?shù)階Poynting-Thomson模型,描述粘彈性材料的時(shí)間依賴蠕變行為。借助于聚合物和巖石的三組蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比這些分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系模型的有效性,并通過(guò)內(nèi)點(diǎn)算法求得這些模型參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)結(jié)果,借助圖形將三組材料的蠕變數(shù)據(jù)與計(jì)算所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,分析表明分?jǐn)?shù)階Poynting-Thomson模型在描述材料的蠕變行為時(shí)是最優(yōu)的。其次,考慮到空間分?jǐn)?shù)階微分算子可以準(zhǔn)確的描述反常力學(xué)行為的路徑依賴、長(zhǎng)程相關(guān)等特性,故將流體力學(xué)中的經(jīng)典Navier-Stokes方程中拉普拉斯算子替換為Riesz分?jǐn)?shù)階微分算子,得到空間分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程。借助分?jǐn)?shù)階微分方程的有限差分算法研究?jī)善叫衅桨逯g的壓力驅(qū)動(dòng)流動(dòng),分析模型參數(shù)對(duì)流體流動(dòng)的影響;并運(yùn)用Levenberg-M arquardt算法獲得模型中未知參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)值。結(jié)果顯示,兩個(gè)模型參數(shù)對(duì)速度場(chǎng)均有較強(qiáng)的影響,且Levenberg-Marquardt方法在空間分?jǐn)?shù)階微分方程反問(wèn)題的研究中是有效的。再次,基于生物組織建立分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型和相應(yīng)的生物傳熱方程,以此解釋預(yù)處理肉中的傳熱現(xiàn)象。借助于傅里葉變換和拉普拉斯變換獲得由H函數(shù)表示的解析解。模型中的兩個(gè)松弛時(shí)間和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)均由非線性最小二乘法獲得最優(yōu)估計(jì)值。通過(guò)圖形對(duì)比測(cè)量溫度和計(jì)算所得溫度,得到較好的擬合效果,并詳細(xì)分析了模型參數(shù)的影響。最后,基于分?jǐn)?shù)階Taylor級(jí)數(shù)和Tzon提出的雙相延遲模型,建立分?jǐn)?shù)階雙相延遲熱傳導(dǎo)模型;針對(duì)短脈沖激光加熱半無(wú)窮介質(zhì)問(wèn)題建立分?jǐn)?shù)階雙相延遲熱傳導(dǎo)方程,利用拉普拉斯變換給出問(wèn)題的半解析解,并利用數(shù)值求逆拉普拉斯變換的方法深入剖析了短脈沖激光加熱的熱傳輸過(guò)程。具體來(lái)講:第一章,主要介紹分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷史,本文要研究的主要問(wèn)題以及可能用到的一些預(yù)備知識(shí)。第二章,基于分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系模型研究粘彈性材料的時(shí)間依賴蠕變行為�；诜�?jǐn)?shù)階微積分的粘彈性材料本構(gòu)關(guān)系模型不僅具有擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)好、使用參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn),而且可以合理地描述具有記憶和時(shí)間依賴的物理現(xiàn)象,故研究人員在粘彈性材料本構(gòu)模型的研究中開(kāi)始采用分?jǐn)?shù)階微積分理論。本章借助于分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系模型:分?jǐn)?shù)元模型,分?jǐn)?shù)階Maxwell模型,分?jǐn)?shù)階Kelvin-Voigt模型和分?jǐn)?shù)階Poynting-Thomson模型研究粘彈性材料(聚合物和巖石)的蠕變行為,這些模型的蠕變函數(shù)分別為(?)(?)(?)(?)這里Ep,q(z)是Mittag-Leffler函數(shù)。通過(guò)包括HDPE,PEEK和巖石在內(nèi)的三組蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說(shuō)明分?jǐn)?shù)階粘彈性模型的有效性,并分析了所得擬合結(jié)果。結(jié)果顯示,分?jǐn)?shù)階Poynting-Thomsom模型的擬合效果是本章涉及的分?jǐn)?shù)階微分模型中最好的,其可以很好的抓住粘彈性固體短時(shí)和長(zhǎng)時(shí)的蠕變行為。模型參數(shù)的識(shí)別是分?jǐn)?shù)階微分模型研究中的一個(gè)重要問(wèn)題,本章將采用內(nèi)點(diǎn)算法估計(jì)了未知的模型參數(shù),得到未知參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)值。內(nèi)點(diǎn)算法對(duì)于解決分?jǐn)?shù)階微分模型參數(shù)估計(jì)的反問(wèn)題是可行的。第三章,主要研究空間分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程,并用分?jǐn)?shù)階微分方程有限差分的方法獲得兩平行平板之間壓力驅(qū)動(dòng)流動(dòng)的速度分布。將Navier-Stokes方程中的拉普拉斯算子替換為Riesz分?jǐn)?shù)階微分算子,可得以下形式的空間分?jǐn)?shù)階Navier-Stokes方程(?)(?)以上述方程為運(yùn)動(dòng)方程,考慮垂直距離是L的兩平行平板之間流體的不定常壓力驅(qū)動(dòng)流動(dòng),其初邊值條件分別為u(y,0)= 0,0yL,(6)u(0,t)= u(L，，t)= 0,t0.(7)借助于有限差分的方法獲得此問(wèn)題在常壓力梯度驅(qū)動(dòng)下的速度分布,探討分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和廣義雷諾數(shù)對(duì)不定常粘性流動(dòng)的影響,結(jié)果顯示兩個(gè)模型參數(shù)對(duì)兩平行平板之間的流動(dòng)均有較大影響。為了更好的分析兩平行平板之間的壓力驅(qū)動(dòng)流動(dòng)的特性,探討兩個(gè)模型參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題,并利用Levenberg-Marquardt(L-M)方法估計(jì)了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和廣義雷諾數(shù),結(jié)果表明用Levenberg-Marquardt方法解決空間分?jǐn)?shù)階微分方程中的反問(wèn)題是有效的。第四章,主要研究時(shí)間分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型及其在生物組織傳熱中的應(yīng)用。首先基于經(jīng)典傅里葉定律提出以下生物組織傳熱中的時(shí)間分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型(?)其中0α,β1,分?jǐn)?shù)階微分為Caputo型分?jǐn)?shù)階微分。生物組織熱傳導(dǎo)通常采用以下Pennes'方程(?)其中Q(r,t)=ωbCb(Tα-T(r,t))+qm+qr,ρ,c和T分別是生物組織的密度,比熱和溫度;cb是血液的比熱,ωb是血液灌注率;Ta是動(dòng)脈血的溫度;qm是生物組織的新陳代謝產(chǎn)生的熱量,qr是空間熱源項(xiàng)。方程(8)和(9)聯(lián)立可得帶有兩個(gè)分?jǐn)?shù)階參數(shù)α和β的生物傳熱方程,其中包括體現(xiàn)生物組織內(nèi)在熱性能的松弛時(shí)間τq和延遲時(shí)間τT�；贛itra等的實(shí)驗(yàn),提出以下初邊值條件:(?)(?)(?)并借助于積分變換和H函數(shù),得到了以上初邊值條件下分?jǐn)?shù)階雙相延遲熱傳導(dǎo)方程的精確解。進(jìn)一步用非線性最小二乘的方法預(yù)測(cè)了 Mitra等給出的實(shí)驗(yàn)Ⅰ和Ⅲ的溫度,結(jié)果顯示分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型能較好地吻合測(cè)量數(shù)據(jù)且能很好的抓住溫度快速上升的趨勢(shì)。對(duì)比熱波模型和雙相延遲模型,分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型的L2誤差最小。這說(shuō)明分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型有助于提升對(duì)生物組織中熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)。第五章,主要研究短脈沖激光加熱一個(gè)半無(wú)窮介質(zhì)。以時(shí)間分?jǐn)?shù)階雙相延遲模型(?)為熱傳導(dǎo)模型,建立相應(yīng)的包含體積熱源項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)方程(?)這里g(x,t)=(1-rf)I0δf(t)e-δx.氣考慮初邊值條件(?)(?)(?)(?)T(x,t)= T0,x→,t0,(16)下定解問(wèn)題的解,通過(guò)拉普拉斯變換的方法得到了溫度分布的半解析解。最后,利用數(shù)值逆拉普拉斯變換的方法數(shù)值剖析了分?jǐn)?shù)階階數(shù)和延遲時(shí)間對(duì)溫度分布產(chǎn)生的影響。第六章,給出本文的總結(jié)和未來(lái)可能的研究方向。
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O241.8

【參考文獻(xiàn)】

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本文編號(hào)：1664221