本文選題：FI代數(shù)　切入點：偽Semihoop　出處：《陜西師范大學(xué)》2016年博士論文

【摘要】：模糊邏輯代數(shù)作為模糊邏輯的語義系統(tǒng)被提出,是研究模糊邏輯的一個重要方向.完備性定理的成立標志著邏輯系統(tǒng)的語義和語構(gòu)和諧統(tǒng)一,而濾子理論在證明與邏輯系統(tǒng)對應(yīng)的語義模型的完備性中起著十分重要的作用.因為從邏輯的觀點來看,不同的濾子對應(yīng)著相應(yīng)命題邏輯形式系統(tǒng)中不同的可證公式集,所以濾子在研究各種邏輯代數(shù)中發(fā)揮重要的作用,是研究邏輯代數(shù)的主要工具.為了尋求Lukasiewicz命題邏輯系統(tǒng)中公式的各個真值的某種平均,1995年意大利學(xué)者Mundici在MV代數(shù)上引入了態(tài)的概念,它是經(jīng)典概率論中的Kolmogorov公理在多值邏輯代數(shù)中的公理化推廣.2004年羅馬尼亞學(xué)者Georgescu在偽BL代數(shù)上引入了 Bosbach態(tài),此后眾多學(xué)者致力于各種邏輯代數(shù)中態(tài)理論的研究.因此態(tài)理論在十多年內(nèi)得到了迅速的發(fā)展,并取得了諸多深刻且重要的結(jié)論.本文一方面把研究剩余格中態(tài)理論時所提出的相對非思想與傳統(tǒng)的濾子理論相結(jié)合,在FI代數(shù)和剩余格中基于相對非提出幾類特殊的濾子.同時,基于核映射在剩余格中分析了對合濾子及其兩種擴張濾子的性質(zhì).此外,基于相對非引入偽Semihoop上的Bosbach態(tài)和Riecan態(tài)的概念,分析這兩類態(tài)的性質(zhì).進一步,提出廣義Bosbach態(tài)和廣義Riecan態(tài),試著建立了有界偽Semihoop上的廣義態(tài)理論.同時還研究了有界偽Semihoop上的內(nèi)部態(tài),較為細致地分析了內(nèi)部態(tài)的性質(zhì).另一方面在于利用拓撲學(xué)知識研究FI代數(shù)和剩余格.在FI代數(shù)上利用上集和偽補構(gòu)造了FI代數(shù)上的拓撲,分析了此拓撲的性質(zhì).進一步,在剩余格上借助上集和核映射構(gòu)造了拓撲,研究這種拓撲的性質(zhì).此外,還研究了態(tài)剩余格中素態(tài)濾子的拓撲性質(zhì),證明了素態(tài)濾子拓撲空間是緊致的T0空間.全文共分五章:第一章 回顧FI代數(shù)和Semihoop的基本知識:介紹剩余格及其相關(guān)邏輯代數(shù)的相關(guān)知識,同時也簡要介紹一般拓撲學(xué)中的一些基本概念.第二章 在FI代數(shù)中引入相對非的概念,基于相對非提出相對正則濾子、擴展相對正則濾子和弱相對正則濾子的概念,討論這三種濾子的性質(zhì)并給出其等價刻畫.同時基于相對非給出濾子的一種擴張形式,稱為相對雙補元之集,分析它的代數(shù)性質(zhì).進一步,在FI代數(shù)中利用上集和偽補運算構(gòu)造出一種拓撲結(jié)構(gòu),分析此拓撲的性質(zhì).此外,在FI代數(shù)中引入理想的概念,并給出其等價刻畫.分析理想和濾子之間的關(guān)系,并給出例子作具體說明.第三章 在剩余格中介紹相對半分離濾子及在MTL代數(shù)中介紹相對偽布爾濾子,并給出等價刻畫,得到由相對偽布爾濾子導(dǎo)出的商MTL代數(shù)是Boole代數(shù).分析剩余格上素(極大)濾子和相對正則元之集上素(極大)濾子間的關(guān)系.進一步,利用核映射引入對合濾子,擴展對合濾子和Glivenko濾子的概念,借助核映射的性質(zhì)得到了它們的等價形式.分析濾子的一種帶有核映射的擴張形式的代數(shù)性質(zhì),得到擴展對合濾子的應(yīng)用.此外,借助上集與核映射導(dǎo)出剩余格中一種拓撲結(jié)構(gòu),證明剩余格帶上這種拓撲構(gòu)成｛∧,V,(?)-型半拓撲剩余格.若剩余格滿足相對于核映射的Glivenko性質(zhì)時,剩余格帶上這種拓撲構(gòu)成｛→｝-型左拓撲剩余格.第四章首先在偽Semihoop上引入相對非的概念,詳細分析了相對非的性質(zhì),討論了相對正交和相對加法的性質(zhì).其次,在偽Semihoop上引入了Bosba.ch態(tài),給出它的幾種等價形式.證明了有界完全偽Semihoop上的Bosbach態(tài)的存在性.同時引入了 Riecan態(tài),證明了偽Semihoop上Bosbach態(tài)是Riecan態(tài),但反之不真.然而在滿足相對Glivenko性質(zhì)的偽Semihoop上Riecan態(tài)是Bosbach態(tài).證明了Riecan態(tài)完全由相對正則元之集Rega(L)上的Rieccan態(tài)來唯一確定.最后,在有界偽Semihoop上引入廣義Bosbach態(tài)和廣義Riecan態(tài),得到它們之間的關(guān)系.證明了廣義Riecan態(tài)完全由相對正則元之集上的廣義Rieccan態(tài)來確定.第五章首先在有界偽Semihoop上引入了內(nèi)部態(tài)的概念,討論了內(nèi)部態(tài)的性質(zhì),且利用內(nèi)部態(tài)給出了有界偽Hoop和有界冪等偽Semihoop的等價刻畫.同時分析了有界Good偽Semihoop上的Riecan態(tài)可以由σ(L)上的Riecan態(tài)擴張得到,證明了σ-相容態(tài)與σ(L)上的Riecan態(tài)一一對應(yīng).此外引入了有界態(tài)偽Semihoop上的態(tài)濾子和極大態(tài)濾子,利用極大態(tài)濾子引入了有界態(tài)偽Semihoop相對于態(tài)濾子之集是局部的、單的和半單的等概念,給出了這三種特殊類的等價刻畫.其次在態(tài)剩余格上分析了態(tài)濾子之集Fσ(L)是Boole代數(shù)的充要條件,詳細討論了素態(tài)濾子的各種等價刻畫,給出了態(tài)剩余格上的素態(tài)濾子定理.最后在態(tài)剩余格上分析了素態(tài)濾子之集Specσ(L)的拓撲性質(zhì),證明了Specσ(L)是緊致的T0空間,同時也分析了極大態(tài)濾子的拓撲性質(zhì),證明了若剩余格是MTL代數(shù)時,則Maxσ(L)是緊致的T2空間.
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【學(xué)位授予單位】：陜西師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O141

【參考文獻】

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本文編號：1657028