本文選題：無(wú)窮卷積　切入點(diǎn)：自相似測(cè)度　出處：《華中師范大學(xué)》2017年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

【摘要】：令μ是歐式空間Rd上具有緊支集的Borel概率測(cè)度。建立在測(cè)度μ上傅里葉分析的基本問(wèn)題是:是否存在可數(shù)子集A (?) lRd使得復(fù)指數(shù)函數(shù)族,E(∧):={e2πiλ,x}λ∈∧構(gòu)成L2(μ)的正交基(傅里葉基),其中L2(μ)是關(guān)于測(cè)度μ平方可積函數(shù)構(gòu)成的希爾伯特空間。若存在,則稱μ為譜測(cè)度,∧為譜測(cè)度μ的譜。我們通常也稱(μ, ∧)為一個(gè)譜對(duì)。譜測(cè)度理論的研究始于上世紀(jì)70年代Fuglede提出的猜想,蓬勃發(fā)展于本世紀(jì)初,目前已是測(cè)度上傅里葉分析及應(yīng)用中的研究熱點(diǎn)之一。譜測(cè)度是測(cè)度中的特殊類,至今仍知之不多,特別是奇異譜測(cè)度。本學(xué)位論文的主要目的是找到(構(gòu)造)新的譜測(cè)度,以及研究已知譜測(cè)度的譜特征值問(wèn)題。為了達(dá)到這一目的,我們主要研究Moran測(cè)度。在選擇正交集使它成為譜集時(shí)提出了一些創(chuàng)造性的方法和新技巧,從而對(duì)譜結(jié)構(gòu)亦有了新的認(rèn)識(shí)。與此同時(shí),我們意外地發(fā)現(xiàn)遍歷理論中的Weyl判定和譜測(cè)度有內(nèi)在聯(lián)系。這些想法和技巧構(gòu)建了本學(xué)位論文。本文共分為六章。在第一章,我們介紹譜理論的研究背景和研究動(dòng)機(jī)。第二章介紹譜理論的基礎(chǔ)概念和相關(guān)結(jié)論。隨后的四章則是本文的核心內(nèi)容。第三章,我們主要研究Cantor-Moran測(cè)度μ{pn},{dn}在條件0 dn pn限制下的譜性。我們證明了若增加條件2|pn/gcd(dn,pn)對(duì)所有的n成立,此時(shí)測(cè)度μ{pn},{dn}為譜測(cè)度。需要注意的是在本章中我們并沒(méi)有假設(shè)條件sup{dn} ∞。在本章的最后,我們給出幾個(gè)例子說(shuō)明我們提出的條件是重要的。本部分內(nèi)容發(fā)表在 J.Funct.Anal.上。第四章,我們完整的刻畫了 Cantor-Moran測(cè)度μ{pn},{an,b}在條件max{an,6n}pn限制下的譜性。若去掉限制條件max{an,bn}pn,我們給出測(cè)度μ分別為譜測(cè)度和非譜測(cè)度的充分條件。這是至今沒(méi)有探討過(guò)的問(wèn)題,并且對(duì)于找出非譜情形更為困難。第五章,我們研究一類R上隨機(jī)卷積譜測(cè)度的譜特征值問(wèn)題。一個(gè)實(shí)數(shù)p稱為譜測(cè)度μ的特征值是指:存在離散集A使得A和pA均為譜測(cè)度μ的譜。在此我們研究了幾類譜測(cè)度,給出了實(shí)數(shù)p為它們的譜特征值的充分必要條件。該文已投稿。第六章,我們分析遍歷理論中的Weyl判定和譜測(cè)度之間的關(guān)系。我們證明了對(duì)于所有的離散測(cè)度,Bernoulli測(cè)度μ2k,{-1,1}和限制在兩個(gè)區(qū)間并上的勒貝格測(cè)度均滿足廣義Weyl判定�；趯�(duì)譜測(cè)度性質(zhì)的了解,我們猜想:Borel概率測(cè)度空間(μ, T)滿足廣義Weyl判定當(dāng)且僅當(dāng)測(cè)度μ為譜測(cè)度。
[Abstract]:Let 渭 be a Borel probabilistic measure with compact support on the Euclidean space Rd. The basic problem of Fourier analysis based on the measure 渭 is: is there a countable subset A? LRd makes the family of complex exponential functions E (A) = {e 2 蟺 I 位 X} 位 鈭，

本文編號(hào)：1593865