發(fā)布時(shí)間：2018-02-26 21:11

  本文關(guān)鍵詞： 布朗運(yùn)動(dòng) 到達(dá)邊緣分布 Minkowski空間 Laplace-Beltrami算子 Dirich-let問(wèn)題 變量分離法　出處：《吉林大學(xué)》2017年博士論文　論文類(lèi)型：學(xué)位論文

【摘要】：自19世紀(jì)英國(guó)植物學(xué)家Rorbert Brown觀察到花粉微粒在液體中做不規(guī)則運(yùn)動(dòng)以來(lái),關(guān)于這個(gè)被命名為布朗運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象的研究就從未停止.先是物理學(xué)家A.Einstein與Marian von Smoluchowski等得到了歐氏空間中布朗運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)移概率密度所滿足的擴(kuò)散方程,荷蘭科學(xué)家Adriaan Daniel Fokker與德國(guó)物理學(xué)家Max Planck對(duì)一般擴(kuò)散過(guò)程的擴(kuò)散方程做了研究.在構(gòu)造了布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型之后,數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯坎祭蔬\(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn):布朗粒子所在的空間幾何結(jié)構(gòu)不同,會(huì)影響擴(kuò)散過(guò)程的常返性.在德國(guó)數(shù)學(xué)家P.Koebe與法國(guó)數(shù)學(xué)家H.Poincare證明了著名的單值化定理之后,數(shù)學(xué)家們通過(guò)位勢(shì)理論徹底將布朗運(yùn)動(dòng)與Riemannian幾何聯(lián)系在一起.而隨著A.Einstein搭建了狹義相對(duì)論的理論框架,越來(lái)越多的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家將傳統(tǒng)的熱力統(tǒng)計(jì)學(xué)理論推廣到相對(duì)論的框架中來(lái),由此得到了布朗粒子在Minkowski空間中,概率密度函數(shù)ρ所滿足的擴(kuò)散方程(?)ρ/(?)t=1/2△gρ,以及布朗運(yùn)動(dòng)的邊緣到達(dá)分布u滿足的穩(wěn)態(tài)方程1/2△gρu = 0,其中△g是Minkowski空間中的Laplace-Beltrami算子.由此,計(jì)算布朗粒子邊緣到達(dá)分布的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)Dirichlet問(wèn)題.我們?cè)诘谝徽轮薪榻B了以上的背景與理論基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上,本文旨在探討布朗運(yùn)動(dòng)在不同維數(shù)的Minkowski空間中偽球面上到達(dá)特定緯度的邊緣到達(dá)分布.由于Minkowski空間中的偽球面就是雙曲面模型,因此,我們嘗試使用文獻(xiàn)[11]中的方法與思路,通篇使用偏微分方程的變量分離法.在第二章中,我們給出了 Minkowski空間中類(lèi)空間、類(lèi)時(shí)間、類(lèi)光區(qū)域以及類(lèi)空間、類(lèi)時(shí)間偽球面的基本概念,給出了此空間中的內(nèi)積、距離、度量公式,以及直角坐標(biāo)下Laplace-Beltrami算子的表達(dá)形式.我們還探討了一下Minkowski空間中Laplace-Beltrami算子譜的非負(fù)性,詳細(xì)的計(jì)算了三維及高維情形中使用偽球極坐標(biāo)時(shí)Laplace-Beltrami算子的表達(dá)式.我們介紹了幾個(gè)求解方程時(shí)會(huì)遇到的常微分方程、超幾何函數(shù)、Gegenbauer多項(xiàng)式和為了簡(jiǎn)便所使用的符號(hào).接下來(lái),在第三章中,我們將三維Minkowski空間分成R13與R23兩種情況.對(duì)空間R13,我們進(jìn)行了詳細(xì)的計(jì)算,分別得到了類(lèi)空間與類(lèi)時(shí)間偽球面上邊緣到達(dá)分布的公式,歸結(jié)為定理3.1.1與定理3.2.1,并對(duì)解的概率性質(zhì)進(jìn)行了驗(yàn)證.對(duì)于空間R23,由于問(wèn)題的等價(jià)性,我們直接得到了定理3.3.1.最后,在第四章中,我們對(duì)一般的高維情形進(jìn)行了討論.根據(jù)l與v不同導(dǎo)致的單位球面Laplace算子退化程度不同,將問(wèn)題劃分為四種情況.重復(fù)三維情形的計(jì)算過(guò)程,使用變量分離法得到方程的通解,再利用邊值條件以及三角函數(shù)系與Gegenbauer多項(xiàng)式的正交性,得到我們想要的邊緣到達(dá)分布,由此得到定理4.1.1與定理4.3.1.并且,對(duì)于類(lèi)空間情形,我們?cè)敿?xì)驗(yàn)證了所得到的每一個(gè)邊緣到達(dá)分布的概率性質(zhì).
[Abstract]:Since 19th century, when British botanist Rorbert Brown observed the irregular movement of pollen particles in liquids, The study of the physical phenomenon named Brownian motion has never stopped. Firstly, physicists A. Einstein and Marian von Smoluchowski have obtained the diffusion equation satisfied by the probability density of the transfer of Brownian motion in Euclidean space. Adriaan Daniel Fokker, a Dutch scientist, and Max Planck, a German physicist, studied the diffusion equations of general diffusion processes. When studying the Brownian motion, mathematicians found that the spatial geometric structure of the Brownian particle would affect the recurrence of diffusion process. After the famous singularization theorem was proved by the German mathematician P. Kobey and the French mathematician H. Poincare, Mathematicians connected the Brownian motion to Riemannian geometry completely through the potential theory. And as A. Einstein built the theoretical framework of special relativity, more and more physicists, Mathematicians extended the traditional theory of thermal statistics to the framework of relativity, and obtained the diffusion equation of Brownian particle in Minkowski space, which is satisfied by the probability density function 蟻? ) 蟻 / R? 1 / 2 g 蟻 and 1/2 g 蟻 u, where g is the Laplace-Beltrami operator in Minkowski space, and the stable equation of the edge arrival distribution u of the Brownian motion is 1/2 g 蟻 u = 0, where g is the Laplace-Beltrami operator in Minkowski space. The problem of calculating Brownian particle edge arrival distribution is transformed into solving a Dirichlet problem. In the first chapter, we introduce the above background and theoretical basis. The purpose of this paper is to investigate the edge arrival distribution of Brownian motion on pseudo-sphere in Minkowski space with different dimensions. Since the pseudo-sphere in Minkowski space is a hyperboloid model, we try to use the method and train of thought in reference [11]. In the second chapter, we give the basic concepts of class space, class time, quasi-optical region, quasi-space and quasi-time pseudo-sphere in Minkowski space, and give the inner product and distance in this space. We also discuss the nonnegativity of the spectrum of Laplace-Beltrami operators in Minkowski spaces. The expressions of the Laplace-Beltrami operator using pseudo spherical polar coordinates in three dimensional and high dimensional cases are calculated in detail. We introduce several ordinary differential equations, hypergeometric functions, Gegenbauer polynomials and symbols for convenience. In the third chapter, we divide the three-dimensional Minkowski space into two cases, R13 and R23. For the space R13, we calculate it in detail, and obtain the formulas of the arrival distribution of the edges on the pseudo-sphere of quasi-space and quasi-time, respectively. Theorem 3.1.1 and theorem 3.2.1 are reduced to theorem 3.1.1, and the probabilistic properties of the solution are verified. For the space R23, due to the equivalence of the problem, we directly obtain Theorem 3.3.1.Finally, in Chapter 4th, In this paper, we discuss the general high dimensional case. According to the degeneracy degree of the unit spherical Laplace operator caused by the difference of l and v, the problem is divided into four cases. The general solution of the equation is obtained by using the method of variable separation, and the boundary value condition and the orthogonality between trigonometric function system and Gegenbauer polynomial are used to obtain the desired edge arrival distribution, and the theorems 4.1.1 and 4.3.1 are obtained. We verify the probabilistic properties of each edge arrival distribution in detail.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類(lèi)號(hào)】：O552.1

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本文編號(hào)：1539682