本文關鍵詞： 四階非線性拋物方程 差分法 擬譜方法 Fourier譜方法 長時間行為　出處：《吉林大學》2017年博士論文　論文類型：學位論文

【摘要】：高階非線性拋物方程作為數(shù)學模型可描述物理、化學、地理、環(huán)境科學等很多領域出現(xiàn)的現(xiàn)象,應用廣泛,是非線性學科的一個重要組成部分.本文研究了三類具有應用背景的四階非線性偏微分方程的數(shù)值解法.理論上主要研究數(shù)值方法的先驗估計和收斂性,特別是數(shù)值解的H~2模先驗估計,這是四階方程收斂性分析的基礎.此外,文中也給出了數(shù)值實驗以驗證理論上的結果.首先,本文研究了描述晶體表面增長的方程的差分法.關于該方程數(shù)值解法的研究不多,筆者曾經和其他作者合作研究過該問題的有限元法,但由于三次有限元形成剛度矩陣的計算量過大,因而又進一步來研究方程的差分法.本文針對一維模型和二維模型各給出了一種差分格式,分別證明了差分解的存在唯一性、先驗估計和收斂性,并給出了數(shù)值算例.該方程的非線性項是有理式形式,直接處理比較復雜,但通過一次分部積分可以大幅降低非線性項的復雜度.在有限元法的研究中是用連續(xù)內積進行分析,從而可以直接用分部積分處理非線性項.但在構造差分格式時,如果只是簡單移植,那么非線性項在離散內積下不滿足分部積分.在不影響計算復雜度的前提下,為了能采取與有限元法相似的處理方法,本文針對該方程的一維模型構造了一種半隱半顯型線性化差分格式,使得非線性項在相應的離散內積下可以進行一次分部積分,從而降低非線性項的處理難度.在理論上證明了該數(shù)值格式在時間方向上為一階收斂,在空間方向上為二階收斂,數(shù)值算例驗證了這一結果.針對二維模型本文構造了 Crank-Nicolson型的差分格式,并定義了與之匹配的離散內積,使得非線性項也可以進行類似的處理.所構造的Crank-Nicolson型的差分格式雖然比線性化差分格式的計算量大,但在時間上達到二階收斂,綜合效果較好.數(shù)值結果也與該理論結果相吻合.其次,本文研究了二維擴展的Fisher-Kolmogorov(EFK)方程u_t + γ△~2u-△u + f(u)= 0的擬譜方法.關于該方程的數(shù)值解法有較多的研究成果,方法涉及各類有限元法和差分法.本文先對空間進行離散,構造了恰當?shù)那蠼饪臻g和離散內積,使得求解空間SN以及離散內積的定義不僅與方程的初邊值條件相匹配,同時也滿足SN空間中基函數(shù)的正交性.在此基礎上,構造了半離散擬譜近似格式,并證明了半離散解的存在性、先驗估計及收斂性.進而又建立了Crank-Nicolson型的全離散擬譜格式,證明了全離散解的先驗估計,并給出了按L2范數(shù)的最優(yōu)階誤差估計.針對EFK方程的非線性項f(u)= u~3-u,在H~2半模先驗估計的分析中引入能量泛函E_h(t)=γ/2||△u_h||~2+1/2||%絬_h||~2+(H(u_h),1)_h,u_h∈sN,其中H(u_h)=1/4(1-u_h~2)~2,并且H'(u_h)=f(u_h).利用能量泛函隨時間遞減的性質證得H~2半模的先驗估計.全離散解的先驗估計證明中也構造和借助了相應的離散能量泛函.給出了 Fourier擬譜方法的收斂性結果,并用數(shù)值算例驗證了相應的理論結果.最后,本文研究了一類對流Cahn-Hilliard方程u_t+γ△~2u-△f(u)%絞(u)=0的Fourier譜近似解的長時間行為,其f(u)為關于u的四次多項式,g(u)為關于u的五次多項式.文中給出了譜近似解的H~2模長時間先驗估計的證明,并對有限時間段分析了數(shù)值解的收斂性.數(shù)值解的先驗估計是理論分析的基礎,但由于該方程非線性項的特殊性,得到其數(shù)值解的H0模先驗估計是難點.為此本文針對非線性項%絞(u)給出了一種反對稱格式,并利用該格式構造了半離散譜近似格式,進而建立了全離散格式.由于全離散格式中g(u)利用了反對稱格式,所以有效地排除了該非線性項的影響,得到了 H0模的長時間先驗估計.數(shù)值解H~2半模的先驗估計中通常會借助于能量泛函,但該方程和H~2半模對應的能量泛函難以找到.由于有了H0模的先驗估計,所以本文在H~2半模長時間先驗估計中,對非線性項的影響,采用充分地利用四階導數(shù)項和H0模的估計,并多次使用Nirenberge不等式的分析方法,得到了較好的理論結果.
[Abstract]:In this paper , we study the finite element method for solving the nonlinear term . In this paper , we study the finite element method for solving the nonlinear term by using the finite element method . In this paper , we have given a priori estimate of the H ~ 2 half - norm by means of the energy functional function .

【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

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