本文關(guān)鍵詞：無界區(qū)域上全對角化廣義Laguerre譜方法　出處：《上海師范大學(xué)》2016年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：近四十年來,譜方法的研究取得了很大進(jìn)展,已廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域的數(shù)值模擬,如熱傳導(dǎo)、量子力學(xué)、流體力學(xué)、數(shù)值天氣預(yù)報和金融數(shù)學(xué)等。譜方法在當(dāng)今的科學(xué)和工程計算中起到了非常重要的作用,并與有限元方法和有限差分法一起成為數(shù)值求解微分方程的有力工具。譜方法的最大優(yōu)點是計算的高精度,也就是所謂的“無窮階”收斂性。即真解越光滑,譜方法的收斂速度越快。特別地,當(dāng)真解無窮可微時,數(shù)值解呈指數(shù)收斂。譜方法的主要特點是選擇無窮階可微的正交函數(shù)作為基函數(shù)來逼近微分方程的解,選擇不同的基函數(shù)就得到了不同的譜逼近方法。例如,周期問題的Fourier譜方法,有界區(qū)域問題的Jacobi譜方法,無界區(qū)域問題的Laguerre譜方法以及Hermite譜方法等。通常求解無界區(qū)域上微分方程的譜方法分為三大類：一是將無界區(qū)域截斷成有界區(qū)域,加上人工邊界條件,再用有界區(qū)域上的譜方法進(jìn)行求解；二是通過自變量的變換將無界區(qū)域問題變換為有界區(qū)域上的奇異問題,然后用Jacobi譜方法求解：或者將有界區(qū)域上的經(jīng)典正交多項式映射為無界區(qū)域上的有理正交函數(shù),然后用該有理函數(shù)逼近無界區(qū)域問題；三是直接利用無界區(qū)域上的正交多項式或函數(shù)逼近無界區(qū)域問題,如經(jīng)典的Laguerre譜方法和Hermite譜方法。Laguerre譜方法在求解無界區(qū)域問題時具有快速和穩(wěn)定的特點。近年來,該方法的研究取得了諸多進(jìn)展,如發(fā)展了廣義Laguerre多項式的譜方法和廣義Laguerre函數(shù)的譜方法等。但現(xiàn)有的廣義Laguerre譜方法要求參數(shù)a一1,這與很多微分方程不匹配,因而極大地限制了其應(yīng)用范圍�；谏鲜鲈�,本文發(fā)展了帶任意實參數(shù)α的廣義Laguerre譜方法,并針對無界區(qū)域上的多種橢圓型邊值問題,構(gòu)建了全對角化廣義Laguerre譜方法。該方法的最大優(yōu)點在于,其生成的線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是單位陣,條件數(shù)為1,而現(xiàn)有的Laguerre譜方法中對應(yīng)系數(shù)矩陣是滿陣或帶狀陣,條件數(shù)是按平方量級增長的。本文的結(jié)構(gòu)如下：第一章,介紹譜方法的發(fā)展歷史,同時指出了現(xiàn)有Laguerre譜方法求解無界區(qū)域問題時存在的一些困難和不足,并給出了本文得到的一些主要結(jié)果。第二章,定義了帶任意實參數(shù)α的廣義Laguerre多項式和廣義Laguerre函數(shù),并建立了其遞推關(guān)系、正交性和投影的誤差估計。第三章,針對無界區(qū)域上帶非齊次Dirichlet或Robin邊值條件的二階橢圓型問題,建立了全對角化廣義Laguerre譜方法,并給出了最優(yōu)收斂性結(jié)果,數(shù)值試驗驗證了該算法的有效性。第四章,針對無界區(qū)域上二維和三維橢圓型方程的對稱問題,建立了全對角化廣義Laguerre譜方法,并給出了最優(yōu)收斂性結(jié)果,數(shù)值試驗驗證了該算法的有效性。第五章,針對無界區(qū)域上的四階橢圓型邊值問題,建立了全對角化廣義Laguerre譜方法,并給出了最優(yōu)收斂性結(jié)果,數(shù)值試驗驗證了該算法的有效性。針對外部區(qū)域上二維和三維橢圓型方程的對稱問題,建立了全對角化廣義Laguerre譜方法,數(shù)值試驗驗證了該算法的有效性。
[Abstract]:In recent years , the research of spectral method has been widely used in many fields , such as thermal conduction , quantum mechanics , fluid mechanics , numerical weather forecast and financial mathematics . The generalized Laguerre ' s method for generalized Laguerre is established and the optimal convergence results are given . The fourth chapter establishes the generalized Laguerre spectrum method for the generalized Laguerre spectrum and gives the optimal convergence results .

【學(xué)位授予單位】：上海師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82

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本文編號：1393029