本文關(guān)鍵詞：度量空間中擬共形映射與擬對稱映射的研究　出處：《重慶大學》2016年博士論文　論文類型：學位論文

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【摘要】：為了敘述與證明皮卡定理的一個推廣,1928年,Grotzsch率先引進了平面上擬共形映射的理念.1935年,Lavrentiev與Ahlfors又分別從偏微分方程與函數(shù)論的角度研究了擬共形映射,至此擬共形映射這個術(shù)語便開始出現(xiàn).1938年,Lavrentiev開始了高維擬共形映射的研究.后來,Teichmuller和Ahlfors深入的研究了擬共形映射,而Gehring與Vaisala開始系統(tǒng)的研究歐氏空間上的擬共形映射理論.在1956年,著名數(shù)學家Beurling和Ahlfors首次提出擬對稱映射的概念,擬對稱映射是高維歐氏空間上的擬共形映射到一般度量空間的推廣.令人驚奇的是,擬共形映射在合適的情形下與擬對稱映射是等價的.在歐氏空間和Banach空間中,關(guān)于擬共形映射與擬對稱映射的性質(zhì)的研究已有許多,并已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用.隨著擬共形映射理論的發(fā)展,對它的研究自然的考慮到了更一般的度量空間上本文主要研究三個方面.第一方面,研究了度量空間中擬雙曲映射的局部和整體性質(zhì),得到了一系列結(jié)論,從而部分肯定的回答了由Vaisala在1999年提出的公開問題.第二方面,在度量空間中研究擬對稱映射的性質(zhì),推廣了Vaisala(1990)的結(jié)論.最后,本文研究了度量空間中φ-一致域的幾何性質(zhì),刻畫了φ-一致域在擬對稱映射下的不變性問題.全文由七章構(gòu)成,具體安排如下.第一章,主要介紹本文中所研究問題的歷史背景、發(fā)展狀況和對數(shù)學各學科的影響,并陳述本文的主要研究內(nèi)容.第二章,介紹研究問題的主要工具——擬雙曲度量.本章詳細地給出了擬雙曲度量的定義、性質(zhì)以及擬凸度量空間上的擬雙曲度量與歐氏度量之間的關(guān)系.由本章的研究結(jié)論可知,利用擬雙曲度量來研究擬共形映射和擬對稱映射的許多基本性質(zhì),常常使許多問題得到簡化.第三章,主要介紹了幾個重要的引理,這些引理在本文主要結(jié)論的證明中起到關(guān)鍵的作用.首先,我們主要研究了擬雙曲度量與距離商度量之間的關(guān)系,以及度量空間中δD'(f(x))與δG'(f(x))的關(guān)系,其中D’(?)G’.其次,主要引進了λ-John-ball域和not-cut-point域的概念,證明了度量空間中自由擬共形映射是一個局部擬對稱映射.第四章,我們主要關(guān)注度量空間中擬雙曲映射的局部性質(zhì)與整體性質(zhì)之間的關(guān)系Vaisala在1999年提出如下的公開問題：假設(shè)f：G→G’是一個同胚映射,且存在M1,對于任意的點x∈G,都存在一個領(lǐng)域D(x)(?)G使得限制在它上的同胚映射f｜D(x):D(x)→f(D(x))是M-QH映射,那么f在G上是否還是M’-QH映射?其中M’=M’(M).在本章中,我們研究了這個問題,并得到了部分肯定的回答.第五章,我們利用擬雙曲度量研究了度量空間中擬共形映射與擬對稱映射的性質(zhì),而且證明了適合的度量空間中粗的擬雙曲映射是擬雙曲度量空間中的擬對稱映射,同時也是擬雙曲球上的擬對稱映射.第六章,研究度量空間中φ-一致域的一些基本性質(zhì)以及不變性.特別地,我們討論了度量空間中φ-一致域的幾何性質(zhì),刻畫了φ-一致域在擬對稱映射下的不變性問題.第七章,我們總結(jié)了本學位論文研究的主要結(jié)果,并提出本文尚未克服的困難和我們希望進一步考慮的問題.
【學位授予單位】：重慶大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O189.11

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本文編號：1320367