本文關(guān)鍵詞：幾類偏微分方程的動(dòng)力學(xué)相容的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法　出處：《哈爾濱工業(yè)大學(xué)》2015年博士論文　論文類型：學(xué)位論文

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【摘要】：18世紀(jì)中期,Euler和D’Alembert分別提出了弦振動(dòng)過(guò)程所滿足的偏微分方程,自此有關(guān)偏微分方程的研究開始發(fā)展起來(lái)。一般情況下,偏微分方程定解問(wèn)題很難求解,所以人們構(gòu)造了各種各樣的數(shù)值方法去求定解問(wèn)題的近似解。由于能夠正確反映連續(xù)方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的數(shù)值方法才具有實(shí)際意義,所以構(gòu)造能夠保持偏微分方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的數(shù)值方法是一個(gè)值得研究的課題。本文主要從保持偏微分方程的反對(duì)稱性,解的正性、有界性、時(shí)間單調(diào)性和空間單調(diào)性,以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性和全局漸近穩(wěn)定性這幾個(gè)方面考慮,構(gòu)造了幾類偏微分方程(系統(tǒng))的動(dòng)力學(xué)相容的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法。首先研究了一類對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法。針對(duì)這類方程不帶擴(kuò)散項(xiàng)的情況,即相應(yīng)的對(duì)流反應(yīng)方程,構(gòu)造了兩個(gè)精確有限差分方法。由于精確有限差分方法形式復(fù)雜,所以從其中一個(gè)精確有限差分方法推導(dǎo)出一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法,該方法能夠保持對(duì)流反應(yīng)方程的解的單調(diào)性和有界性以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的局部穩(wěn)定性。基于對(duì)流反應(yīng)方程的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法,構(gòu)造了對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程的一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法,并且證明了該方法可以保持微分方程解的正性和有界性以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性。然后構(gòu)造了用于求解一類廣義的Fisher KPP方程的兩個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法。針對(duì)這類方程關(guān)于空間變量獨(dú)立的情形,構(gòu)造了一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法,證明了該方法能夠保持相應(yīng)微分方程的解的單調(diào)性和有界性以及平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性�；谶@個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法,構(gòu)造了這類廣義的Fisher KPP方程的兩個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法。證明了這兩個(gè)方法可以保持這類方程的反對(duì)稱性,解的正性、有界性、時(shí)間單調(diào)性和空間單調(diào)性,以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性。此外,還分析了這兩個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法的可解性和收斂性。其次針對(duì)一類Fitz Hugh Nagumo方程,構(gòu)造了相應(yīng)的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法。通過(guò)一個(gè)能夠保持關(guān)于空間變量獨(dú)立的方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法,分別構(gòu)造了具有一個(gè)空間變量和兩個(gè)空間變量的Fitz Hugh Nagumo方程的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法。證明了所構(gòu)造的方法能夠無(wú)條件保持相應(yīng)的微分方程的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性、以及解的正性和有界性,并且討論了方法的可解性和收斂性。再次給出了一個(gè)具有空間擴(kuò)散的乙肝病毒傳播模型的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法。分析了所構(gòu)造方法的可解性,并且證明了該方法能夠無(wú)條件保持連續(xù)系統(tǒng)解的正性和常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性。通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù),證明了該方法能夠無(wú)條件保持連續(xù)系統(tǒng)的無(wú)病穩(wěn)態(tài)解和慢性病穩(wěn)態(tài)解的全局漸近穩(wěn)定性。最后針對(duì)一個(gè)具有空間擴(kuò)散的SIR傳染病模型,構(gòu)造了一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法。所構(gòu)造的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法是唯一可解的,且能夠無(wú)條件保持連續(xù)系統(tǒng)的解的正性、有界性,以及常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性。此外,通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)證明了該方法能夠無(wú)條件保持連續(xù)系統(tǒng)的無(wú)病穩(wěn)態(tài)解和地方病穩(wěn)態(tài)解的全局漸近穩(wěn)定性。
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.82
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本文編號(hào)：1313175