本文關(guān)鍵詞：球面曲線插值問題及不變量的研究與應(yīng)用

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【摘要】：隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的廣泛普及與迅猛發(fā)展,球面曲線的構(gòu)造與表示在處理數(shù)控加工中的路徑設(shè)計(jì),機(jī)器人路徑規(guī)劃,電腦動畫設(shè)計(jì)以及曲面裁剪與分割等問題時(shí)顯得尤為重要.然而,球面的非歐結(jié)構(gòu)使得我們無法直接利用計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中一些傳統(tǒng)的方法來構(gòu)造球面樣條曲線.因此,對球面曲線相關(guān)問題的研究不僅具有重要的理論意義,同樣具有重要的應(yīng)用價(jià)值.鑒于此,本文對球面曲線的構(gòu)造,性質(zhì)及其在球面數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合方面的應(yīng)用等相關(guān)問題進(jìn)行了研究,并將部分結(jié)果推廣到黎曼流形上.本文主要工作可概括如下：首先,本文對垅維單位球面Sm上的幾何連續(xù)插值問題進(jìn)行了研究,并將部分結(jié)果進(jìn)行了應(yīng)用和推廣.主要結(jié)果包括：(1)通過確定兩條球面Bezier曲線段G2光滑拼接的充分必要條件,構(gòu)造出了G2連續(xù)的三次球面Bezier插值樣條,并通過求解兩個(gè)約束優(yōu)化問題給出了形狀參數(shù)的選取辦法.與現(xiàn)存的兩種主要方法相比,本文的方法放松了對插值數(shù)據(jù)的限制,并且構(gòu)造出的樣條曲線速度和加速度的變化更加均勻.(2)將有理德卡斯特里奧算法(rational de Casteljau algorithm)推廣到,m維單位球面Sm上,由此定義了一種新的球面曲線,即廣義有理Bezier曲線.本文給出了曲線首末端點(diǎn)處一階和二階導(dǎo)矢的計(jì)算公式.在此基礎(chǔ)上,構(gòu)造出了G2 Hermite插值的標(biāo)準(zhǔn)型五次廣義有理Bezier樣條,并且提出了將該樣條曲線應(yīng)用到剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動設(shè)計(jì)的算法.本文提出的設(shè)計(jì)算法適用范圍更廣,并且為運(yùn)動控制提供了更多的自由度,通過交互式設(shè)計(jì)可以得到更加理想的運(yùn)行軌跡,數(shù)值對比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述結(jié)論.(3)將上述部分結(jié)果進(jìn)行了推廣,在黎曼流形上構(gòu)造出了G2連續(xù)并且滿足G1 Hermite插值條件的廣義Bezier樣條曲線,并且在2維單位球面和Lobachevsky平面這兩個(gè)特殊的黎曼流形上實(shí)現(xiàn)了該構(gòu)造方法,由此表明了本文方法的可行性和有效性.其次,本文對球面代數(shù)曲線的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)及其不變量進(jìn)行了研究.通過引入球面點(diǎn)的擬齊次坐標(biāo)和擬射影坐標(biāo)的概念,解決了對徑點(diǎn)的統(tǒng)一表示問題.又通過對廣義球極投影映射的研究,建立了球面代數(shù)曲線與平面代數(shù)曲線之間的聯(lián)系.在此基礎(chǔ)上,將特征比,特征數(shù)和特征映射等平面代數(shù)曲線的相關(guān)概念推廣到球面上,最終構(gòu)建了球面代數(shù)曲線的特征數(shù)理論.利用該理論,建立了高次球面代數(shù)曲線與低次球面代數(shù)曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系.特別的,還證明了三次球面代數(shù)曲線一些有趣的性質(zhì).
【學(xué)位授予單位】：大連理工大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O186.1

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5 李U，

本文編號：1276046