本文關(guān)鍵詞：橢圓曲線二次扭的2部分BSD猜想問(wèn)題

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【摘要】：數(shù)學(xué)家一直很關(guān)注形如如下代數(shù)方程整數(shù)解問(wèn)題a2+b2=c2.這個(gè)眾所周知的方程描述了一個(gè)直角三角形三邊a,b,c之間的關(guān)系,是丟番圖方程中最簡(jiǎn)單的例子之一.歐幾里得完全給出了這個(gè)方程的整數(shù)解,但是對(duì)于更復(fù)雜的方程,這便相當(dāng)困難.1637年,費(fèi)馬提出了如下更一般的方程an+bn=cn沒(méi)有正整數(shù)解,當(dāng)n為大于2的整數(shù)時(shí).雖然費(fèi)馬聲明已經(jīng)給出了這個(gè)猜想的一般證明,但是他除了n=4的特殊情形外沒(méi)有給出其它證明.直到1994年,Andrew Wiles給出了費(fèi)馬大定理的完整證明.在費(fèi)馬大定理證明中,一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是模定理和費(fèi)馬大定理之間的顯然聯(lián)系,這是1984年由Gerhard Frey注意到的,并且在1986年被Ribet證明了,說(shuō)的是,如果費(fèi)馬的方程存在一組整數(shù)解,那么就可以用其創(chuàng)造一條如下形式的半穩(wěn)定橢圓曲線y2=x(x-ap)(x+bp),且這條橢圓曲線不是�；�.然后在1994年,Wiles證明了半穩(wěn)定橢圓曲線的模定理(Taniyama-Shimura-Weil猜想),結(jié)合Ribit的定理,給出了費(fèi)馬大定理的完整證明.對(duì)于任意一條給定的橢圓曲線E,我們可以找到如下相對(duì)應(yīng)的Weierstrass型的仿射模型E:y2=x3+Ax+B其中A,B∈Z,并且是一條虧格為一的非奇異平面曲線.如果一條橢圓曲線E定義在Q上,那么E(Q)(?)Zr(?)E(Q)tors對(duì)于整數(shù)r≥0,這里E(Q)tors是一個(gè)有限Abel群,這是1922年被Mordell證明的.這個(gè)整數(shù)r稱(chēng)為橢圓曲線的秩,是一個(gè)基本的算術(shù)不變量.橢圓曲線秩為零當(dāng)且僅當(dāng)E(Q)是有限的.定義C是一個(gè)正整數(shù),Γ0(C)為SL2(Z)的同余子群,X0(C)為相對(duì)應(yīng)的緊致化的模曲線.根據(jù)Wiles的關(guān)于半穩(wěn)定橢圓曲線的模定理以及Breuil-Conrad-Diamond-Taylor的推廣,存在一個(gè)定義在有理數(shù)域上的非平凡有理映射這個(gè)映射把在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的尖點(diǎn)[∞]映在E的零元素O上.記[0]為復(fù)平面上零點(diǎn)處的尖點(diǎn),這樣的話根據(jù)Manin-Drinfeld的定理,φ([0])是E(Q)上的一個(gè)扭點(diǎn).我們稱(chēng)C為橢圓曲線E的導(dǎo)子.令q為一個(gè)素?cái)?shù).定義那么我們可以定義橢圓曲線E的復(fù)L-級(jí)數(shù)為這里ε=0,±1根據(jù)E(Q)在q處的約化型.我們將其視為復(fù)變量s的函數(shù),且這個(gè)無(wú)窮歐拉乘積當(dāng)Re(s)3/2時(shí)是收斂的.我們已經(jīng)知道L(E,s)具有解析連續(xù)性可以延拓到整個(gè)復(fù)平面上,而且滿(mǎn)足一個(gè)函數(shù)方程,對(duì)于任意的s,從L(E,s)到L(E,2-s).直到當(dāng)今不可思議的是對(duì)于一般的A和B還沒(méi)有任何認(rèn)證的方法能夠計(jì)算橢圓曲線的秩.應(yīng)該有這么一種方法正如現(xiàn)當(dāng)今最重要的開(kāi)放性問(wèn)題Birch-Swinnerton-Dyer猜想所預(yù)示的那樣Birch和Swinnerton-Dyer提出橢圓曲線的秩等于橢圓曲線的一個(gè)解析不變量,也就是橢圓曲線L-函數(shù)中心值s=1處零點(diǎn)的階數(shù),亦這個(gè)猜想隨后被延伸,包括橢圓曲線L-函數(shù)中心值s=1處泰勒展式精確到首項(xiàng)系數(shù).具體的猜想是由下式給出的這里|Ⅲ(E)|是橢圓曲線E Tate-Shafarevich群的階,具體定義為是一個(gè)猜想為有限的群.其它項(xiàng)均為橢圓曲線的一些基本元素和因子.對(duì)于每個(gè)無(wú)平方因子且與C互素的整數(shù)M,且M≡1 mod 4,我們定義這里Ω∞(E(M))是E(M)的最小正的實(shí)周期.我們都知道L(alg)(E(M),1)是一個(gè)有理數(shù).我們記ord2為有理數(shù)域上在2處賦值的階,并且規(guī)定ord2(2)=1.定義ord2(0)=∞.令f(x)為橢圓曲線E的2-分裂多項(xiàng)式.當(dāng)f(x)在Q上不可約時(shí),我們定義數(shù)域F為有理數(shù)域毗連f(x)的一個(gè)定根.令素?cái)?shù)q在E上具有好的約化,令aq為E在q處Frobenius的跡,并記Nq：=1+q-aq.對(duì)于每個(gè)整數(shù)m1,令E[m]為E的m-分裂點(diǎn)構(gòu)成的群.并且,我們定義E的一個(gè)有理素?cái)?shù)q在域F中是惰性的,如果它是不分歧的且在域F的q處只有唯一的素?cái)?shù).我們運(yùn)用Manin[10]和Cremona[5]在模符號(hào)上的一些工作,證明了如下一系列一般結(jié)果.定理0.0.1.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線,判別式為負(fù),E[2](Q)=0,且滿(mǎn)足ord2(L(alg)(E,1))=0.令M為形為M=Eq1q2…qr的任意整數(shù),且滿(mǎn)足(M,C)=1,這里C為E的導(dǎo)子,r≥1,q1,...,,qr為任意不同的且在域F中是惰性的奇素?cái)?shù),選擇適當(dāng)?shù)??)=土1使得M三1 mod 4.那么L(E(M),1)≠0,且我們有因此,E(M)(Q)和Ⅲ(E(M)(Q))都是有限的.定理0.0.2.假設(shè)定理0.0.1中的條件成立.我們同時(shí)假設(shè)E的所有具壞約化的素?cái)?shù)都在Q((?))中分裂,并且E的2部分BSD猜想成立.那么所有E(M)的2部分BSD猜想成立.定理0.0.3.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線,判別式為正,E[2](Q)=0,且滿(mǎn)足ord2(L(alg)(E,1))=1令M為形為M=qlq2…qr的任意整數(shù),且滿(mǎn)足(M,C)=1,這里C為E的導(dǎo)子,r≥1,q1,...,qr為任意不同的且在域F中是惰性的奇素?cái)?shù),且M≡1 mod 4那么L(E(M),1)≠0,且我們有因此,E(M)(Q)和Ⅲ(E(M)(Q))都是有限的.定理0.0.4.假設(shè)定理0.0.3中的條件成立.我們同時(shí)假設(shè)E的所有具壞約化的素?cái)?shù)都在Q((?))中分裂,并且E的2部分BSD猜想成立.那么所有E(M)的2部分BSD猜想成立.定理0.0.5. 令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線,判別式為負(fù),且E[2](Q)≠0.令M為形為M=Eq的任意整數(shù),這里q為滿(mǎn)足(q,C)=1的任意奇素?cái)?shù),C為E的導(dǎo)子,并選擇適當(dāng)?shù)??)=土1使得M≡1 mod 4.假設(shè)L(E,1)≠0.如果ord2(Nq)=-ord2(L(alg)(E,1))≠0,那么L(E(M),1)≠0,且我們有因此,E(M)(Q)和Ⅲ(E(M)(Q))都是有限的.定理0.0.6. 令E為定義在Q上的Γo(C)-最優(yōu)橢圓曲線,判別式為正,且E[2](Q)≠0.令q為滿(mǎn)足q≡1 mod 4和(q,C)=1的任意奇素?cái)?shù),這里C為E的導(dǎo)子.假設(shè)L(E,1)≠0.如果ord2(Nq)=1-ord2(L(alg)(E,1))≠0,那么L(E(M),1)≠0,且我們有因此,E(M)(Q)和Ⅲ(E(M)(Q))都是有限的.定理0.0.7.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線,判別式為負(fù),E[2](Q)≠0,且滿(mǎn)足L(E,1)≠0.令M為形為M=(？)q1q2…qr的任意整數(shù),且滿(mǎn)足(M,C)=1,這里C為E的導(dǎo)子,r≥1,q1….,qr為任意不同的奇素?cái)?shù),選擇適當(dāng)?shù)??)=±1使得M≡1 mod 4.如果ord2(Nqi)-ord2(L(alg)(E,1))對(duì)于M的至少一個(gè)素因子qi(1≤i≤r)成立,那么我們有定理0.0.8.令E為定義在Q上的Γ0(C)-最優(yōu)橢圓曲線,判別式為正,E[2](Q)≠0,且滿(mǎn)足L(E,1)≠0.令M≠1為任意整數(shù),且滿(mǎn)足M≡1 mod 4和(M,C)=1,這里C為E的導(dǎo)子,那么我們有最后,我們考察了Neumann-Setzer這族橢圓曲線,其導(dǎo)子為p,這里p為形如u2+64的素?cái)?shù),且整數(shù)u≡1 mod 4,其極小Weierstrass模型為我們證明了如下定理.定理0.0.9.令q為任意模4余3的素?cái)?shù),且在Q((?))中是惰性的.當(dāng)u≡5 mod 8時(shí),那么L(A(-q),1)≠0,且我們有因此,A(-q)(Q)是有限的,Tate-Shafarevich群Ⅲ(A(-q)(Q))是有限的且基為奇數(shù).更進(jìn)一步,A(-q)的2部分BSD猜想成立.我們?cè)敿?xì)考察了Neumann-Setzer這族橢圓曲線的二次扭,并猜想定理將對(duì)更多類(lèi)的Neumann-Setzer橢圓曲線二次扭成立.
【關(guān)鍵詞】：BSD猜想 橢圓曲線 二次扭
【學(xué)位授予單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類(lèi)號(hào)】：O156
【目錄】：

• 中文部分7-54
• 摘要7-12
• ABSTRACT12-18
• 第一章 介紹和主要結(jié)果18-24
• 第二章 模符號(hào)24-30
• 2.1 模符號(hào)的性質(zhì)24-25
• 2.2 一些引理25-30
• 第三章 非零結(jié)果的證明30-34
• 3.1 周期格30
• 3.2 定理1.0.1和1.0.3的證明30-32
• 3.3 定理1.0.5和1.0.7的證明32-33
• 3.4 定理1.0.8和1.0.9的證明33-34
• 第四章 2-Selmer群34-38
• 4.1 2-Selmer群的上界34-36
• 4.2 Tamagawa因子和定理1.0.2以及1.0.4的證明36-38
• 第五章 Neumann-Setzer橢圓曲線的二次扭38-50
• 5.1 Neumann-Setzer橢圓曲線38
• 5.2 典的2-descents方法38-46
• 5.3 Hecke特征值的性態(tài)46-47
• 5.4 2部分BSD猜想47-50
• 參考文獻(xiàn)50-52
• 致謝52-53
• 攻讀博士學(xué)位期間發(fā)表論文53-54
• 英文部分54-95
• Chapter 1 Introduction and statement of results54-62
• Chapter 2 Modular symbols62-68
• §2.1 Properties of modular symbols62-63
• §2.2 A few lemmas63-68
• Chapter 3 Proof of the non-vanishing results68-72
• §3.1 Period lattice68
• §3.2 Proof of Theorem 1.0.10 and 1.0.1268-70
• §3.3 Proof of Theorem 1.0.14 and 1.0.1670-71
• §3.4 Proof of Theorem 1.0?17 and 1.0.1871-72
• Chapter 4 2-Selmer groups72-76
• §4.1 Bounding the 2-Selmer groups72-74
• §4.2 Tamagawa factors and Proof of Theorem 1.0.11 and 1.0.1374-76
• Chapter 5 Quadratic twists of Neumann-Setzer elliptic curves76-90
• §5.1 Neumann-Set zer elliptic curves76
• §5.2 Classical 2-descents76-85
• §5.3 Behaviour of Hecke eigenvalues85-86
• §5.4 2-part of Birch and.Swinnerton-Dyer conjecture86-90
• References90-92
• Acknowledgement92-93
• Publications93-94
• Curriculum vitae94-95
• 學(xué)位論文評(píng)閱及答辯情況表95

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