本文關鍵詞：非良基集與模態(tài)邏輯

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【摘要】：在策梅洛-弗蘭克爾的集合論公理系統(tǒng)ZF中,基礎公理把集合的論域限制到良基集合。因此,不存在屬于關系的無窮降鏈,也不存在屬于自身的集合。1989年阿克采爾創(chuàng)立了非良基集合理論,引入反基礎公理AFA替換ZF中的基礎公理FA,從而得到非良基集合論系統(tǒng)ZFA。由于非良基集合可以用來構造循環(huán)現象的模型,而這些循環(huán)現象都不能用經典集合論來描述,因此,它們在哲學、經濟學、模態(tài)邏輯、語言學以及理論計算機科學中具有十分廣闊的應用前景。接受非良基集合并發(fā)展非良基集理論具有重要的理論意義和應用價值。 本文研究非良基集合與模態(tài)邏輯的關系,在模態(tài)邏輯的集合論語義下探討了一些重要的語義概念,進而研究了集合(模型)的構造、可定義性等等模型論問題。概括說來,本文的主要工作包括以下三個方面: 第一,梳理了非良基集合論的理論背景、發(fā)展歷史和研究現狀,介紹了非良基集合在眾多研究領域的廣泛應用。 第二,根據阿克采爾和巴威斯等人的觀點,闡述了非良基集合的基本理論,從集合與圖的關系和方程組的解兩個方面引入反基礎公理,保證非良基集合的存在性。接著,引入兩個重要的概念。一個概念是本元,它既不是集合也不是類,但可以作為集合的元素。把本元引入圖的裝飾,便得到加標圖。另一個概念是集合上的互模擬關系,它用于判定兩個非良基集合相等。 第三,在集合論語義下重新研究模態(tài)邏輯。本文探討了框架、模型和集合之間的聯系,然后研究集合的構造以及模態(tài)可定義性問題,并且將基本模態(tài)語言翻譯到經典(一階或二階)集合論語言。本文還引入了集合之間的互模擬關系和方程組之間的互模擬,進而研究加標圖上的互模擬與模態(tài)等價之間的關系。最后,在集合論語義下重新研究模態(tài)邏輯的一些元邏輯性質。 本文的主要創(chuàng)造性工作在于: 第一,在模態(tài)邏輯的集合論語義下,定義了集合之間的一些非標準運算,包括不交并、生成子集合、p-態(tài)射、樹展開等,并證明了模態(tài)公式在這些運算下的保持或不變結果。 第二,把基本模態(tài)語言翻譯到經典集合論語言,并且證明了語義上的對應結果,初步探討了范·本特姆類型的刻畫定理。 第三,在模態(tài)邏輯的集合論語義下,研究可定義性理論。本文重點研究了如何使用集合類對模態(tài)公式進行分類,從模態(tài)邏輯T的特征公式出發(fā),把分類結果推廣到其它模態(tài)邏輯的特征公式,包括模態(tài)邏輯KD、K4、KB、K5和GL的特征公式等等。 第四,使用圖和加標圖等語義結構,初步研究了模態(tài)邏輯系統(tǒng)的元邏輯性質,主要包括正規(guī)模態(tài)邏輯的完全性、有窮加標圖性質和可判定性質。本文還嘗試使用純集合和含有本元的集合直接研究這些元邏輯性質。 目前,我國邏輯學界對非良基集合論及其應用的研究幾乎還是一片空白,尚處起步階段。在這方面,本文研究工作的意義是,在借鑒和吸納國外研究成果的基礎上,把非良基集合與模態(tài)邏輯相結合的研究成果引進、介紹到國內。更重要的是,本文在非良基集合論語義下重新研究了模態(tài)邏輯,解決了一些模型論問題,這有利于促進各個邏輯分支的共同發(fā)展,更大程度地發(fā)揮邏輯學的工具性作用。我認為,模態(tài)邏輯與非良基集合論的結合是一個具有深厚理論意義和應用價值的研究方向。
【關鍵詞】：非良基集合 模態(tài)邏輯 可定義性 互模擬 元邏輯性質
【學位授予單位】：南開大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2009
【分類號】：B819
【目錄】：

• 摘要3-5
• Abstract5-10
• 引言10-14
• 第一章 非良基集合概述14-29
• 第一節(jié) 良基集合和非良基集合14-17
• 1.1.1 集合論悖論14-15
• 1.1.2 公理集合論ZFC15-16
• 1.1.3 良基集與非良基集16-17
• 第二節(jié) 非良基集的研究歷史和現狀17-23
• 1.2.1 第一個時期:觀念的萌芽(1900-1924)18
• 1.2.2 第二個時期:公理集合論(1925-1949)18-19
• 1.2.3 第三個時期:非良基集的存在性(1950-1974)19-20
• 1.2.4 第四個時期:非良基集合論的引入及其應用(1975-)20-23
• 第三節(jié) 非良基集與循環(huán)現象23-29
• 1.3.1 哲學中的循環(huán)現象23-25
• 1.3.2 經濟學中的循環(huán)現象25
• 1.3.3 模態(tài)邏輯中的循環(huán)現象25-26
• 1.3.4 情境語義學中的循環(huán)現象26-27
• 1.3.5 理論計算機科學中的循環(huán)現象27-29
• 第二章 非良基集合的基本理論29-52
• 第一節(jié) 本元與非良基集合29-32
• 2.1.1 本元29-31
• 2.1.2 非良基集31-32
• 第二節(jié) 集合與圖32-41
• 2.2.1 Mostowski坍塌定理32-33
• 2.2.2 集合與圖33-38
• 2.2.3 集合與加標圖38-41
• 第三節(jié) 集合與方程組的解41-45
• 2.3.1 集合相等的判定41-42
• 2.3.2 反基礎公理的解引理表述42-44
• 2.3.3 反基礎公理的兩種等價表述44-45
• 第四節(jié) 互模擬45-52
• 2.4.1 集合上的互模擬關系45-46
• 2.4.2 加標圖之間的互模擬關系46-47
• 2.4.3 方程組之間的互模擬關系47-50
• 2.4.4 強外延性50-52
• 第三章 模態(tài)邏輯的集合論語義52-88
• 第一節(jié) 模態(tài)語言的句法和語義53-59
• 3.1.1 基本模態(tài)語言和無窮模態(tài)語言53-55
• 3.1.2 模態(tài)邏輯的關系語義學55-56
• 3.1.3 正規(guī)模態(tài)邏輯56-59
• 第二節(jié) 框架、模型與集合59-67
• 3.2.1 模態(tài)模型與加標圖59-61
• 3.2.2 模態(tài)邏輯的集合論語義61-67
• 第三節(jié) 模態(tài)語言與集合論語言67-71
• 第四節(jié) 集合運算和保持結果71-79
• 3.4.1 不交并73-75
• 3.4.2 生成子集合75-76
• 3.4.3 p-態(tài)射76-78
• 3.4.4 樹展開78-79
• 第五節(jié) 互模擬與模態(tài)等價79-88
• 3.5.1 加標圖之間的運算79-83
• 3.5.2 Hennessy-Milner性質83-86
• 3.5.3 van Benthem刻畫定理86-88
• 第四章 模態(tài)可定義性88-109
• 第一節(jié) 使用模態(tài)公式刻畫集合88-93
• 第二節(jié) 有窮模態(tài)語言與單個集合的刻畫93-96
• 第三節(jié) 使用集合類對模態(tài)公式分類96-105
• 4.3.1 對應理論96-101
• 4.3.2 使用集合類對模態(tài)公式分類101-105
• 第四節(jié) 一些刻畫結果105-109
• 4.4.1 持續(xù)性公理◇T105-106
• 4.4.2 傳遞性公理□p→□□p106
• 4.4.3 對稱性公理p→□◇p106-107
• 4.4.4 歐性公理◇p→□◇p107
• 4.4.5 L(o|¨)b公理□(□p→p)→□p107-109
• 第五章 模態(tài)邏輯的元邏輯性質109-122
• 第一節(jié) 完全性109-116
• 5.1.1 L-加標圖109-112
• 5.1.2 強完全性112-116
• 第二節(jié) 有窮加標圖性和可判定性116-118
• 第三節(jié) 集合論語義與元邏輯性質118-122
• 參考文獻122-126
• 致謝126-127
• 個人簡歷127-128

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本文編號：670951