本文關鍵詞：非線性時間分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法

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【摘要】：分數(shù)階微分方程是從實際問題中抽象出來的一類微分方程,相比于整數(shù)階微分方程,前者能更好地模擬自然物理現(xiàn)象以及物質的變化規(guī)律,因此在現(xiàn)實生活中有非常廣泛的應用.目前,分數(shù)階微分方程的數(shù)學理論還不成熟,尤其是數(shù)值解的研究還需要進一步深入.本文主要研究非線性時間分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法.在本文中,分數(shù)階導數(shù)均為Caputo定義下的分數(shù)階導數(shù),對方程的空間離散均應用微分求積方法.文章主要工作分為四個部分：第一部分,給出了分數(shù)階微積分的研究意義、國內外研究現(xiàn)狀,以及分數(shù)階導數(shù)的基本知識,包括(分數(shù)階導數(shù)的定義與性質,微分變換法的定義與性質,微分求積法的定義與性質以及Gs(p)算法的定義與性質).第二部分,研究了非線性時間分數(shù)階空氣動力學方程的數(shù)值解法,提出一種將空間微分求積法與時間微分變換法相結合的的新方法,并給出數(shù)值計算的構造過程和實現(xiàn)方法.在章節(jié)的最后給出兩個數(shù)值算例,測試結果驗證了方法的有效性.第三部分,討論了一般非線性時間分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法.在時間上應用標準G算法對方程進行全離散,并對全離散格式作了穩(wěn)定性和收斂性分析,數(shù)值測試結果也驗證了該方法的精確性和可靠性,得到方法的收斂階為1階.第四部分,對標準的G算法做了改進,即取移位的Gs(p)算法中p=α/2得到Gα算法.此部分應用空間微分求積法/時間Gα算法對方程進行全離散,并采用預估校正思想來處理第四章中方程(4-39)的非線性項.實驗對比結果表明經(jīng)過多次預估校正,能夠明顯提高方程的求解精度與收斂階.
【關鍵詞】：非線性時間分數(shù)階微分方程 Caputo分數(shù)階導數(shù) 微分求積法 微分變換法 G_(s(p))算法 預估校正
【學位授予單位】：華南理工大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82
【目錄】：

• 摘要5-6
• Abstract6-10
• 第一章 緒論10-18
• 1.1 分數(shù)階微積分的研究意義及現(xiàn)狀10-13
• 1.1.1 分數(shù)階微積分的研究意義10-11
• 1.1.2 分數(shù)階微積分的研究現(xiàn)狀11-13
• 1.2 分數(shù)階導數(shù)的定義及性質13-16
• 1.2.1 分數(shù)階導數(shù)的基本函數(shù)13-14
• 1.2.2 分數(shù)階導數(shù)的定義14-15
• 1.2.3 分數(shù)階導數(shù)的性質15-16
• 1.3 本文主要工作16-18
• 第二章 預備知識18-28
• 2.1 微分變換法18-19
• 2.1.1 微分變換法基本定義18
• 2.1.2 微分變換法的基本性質18-19
• 2.2 微分求積法19-23
• 2.2.1 微分求積法的基本定義19-21
• 2.2.2 權系數(shù)的確定21-22
• 2.2.3 節(jié)點的選取22-23
• 2.3 Riemann-Letnikov分數(shù)階導數(shù)的G_s(p)算法23-28
• 2.3.1 G_s(p)算法的定義23-24
• 2.3.2 G_s(p)算法的性質24-28
• 第三章 非線性空氣動力學方程的數(shù)值方法28-34
• 3.1 空間離散：微分求積法28-29
• 3.2 時間方法：微分變換法29-30
• 3.3 數(shù)值測試30-31
• 3.4 本章小結31-34
• 第四章 非線性時間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值方法34-44
• 4.1 全離散形式35-36
• 4.2 穩(wěn)定性和收斂性分析36-40
• 4.3 數(shù)值算例40-42
• 4.4 本章小結42-44
• 第五章 基于改進的G_s(p)算法的預估校正方法44-52
• 5.1 G_α算法分析44-51
• 5.1.1 線性插值下的預估校正方法45-47
• 5.1.2 二次插值下的預估校正方法47-51
• 5.2 本章總結51-52
• 總結與展望52-54
• 參考文獻54-59
• 攻讀碩士學位期間取得的研究成果59-60
• 致謝60-61
• 附件61

【參考文獻】

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1 王鑫偉;微分求積法在結構力學中的應用[J];力學進展;1995年02期

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1 王永亮;微分求積法和微分求積單元法——原理與應用[D];南京航空航天大學;2001年

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本文編號：860510