本文關鍵詞：雙邊空間分數(shù)階對流擴散方程的幾種數(shù)值解法

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【摘要】：分數(shù)階微分方程是從實際問題中抽象出來的一類微分方程.與整數(shù)階相比,分數(shù)階微分方程最重要的優(yōu)勢在于它能更好地模擬某些自然物理現(xiàn)象和動態(tài)系統(tǒng)過程,因此在物理、工程、金融、地下水和環(huán)境問題中得到了廣泛應用.但是,分數(shù)階微分方程的求解方法不及整數(shù)階微分方程那樣完善,還沒有比較系統(tǒng)的求解公式,目前對它的研究還處于初級階段.和整數(shù)階微分方程的情況一樣,只有很少類型的分數(shù)階微分方程能夠求出解析解.大多數(shù)情況下,只能使用數(shù)值方法來進行計算.因此,對分數(shù)階微分方程進行數(shù)值求解有著十分重要的意義.本文主要研究一維的雙邊空間分數(shù)階對流擴散方程的數(shù)值解法.文中的分數(shù)階導數(shù)均指Riemann-Liouville定義下的分數(shù)階導數(shù).主要工作如下：第一章,給出了分數(shù)階微積分的歷史簡介、分數(shù)階微分方程的研究意義以及分數(shù)階微分方程數(shù)值解法的國內外研究現(xiàn)狀.第二章,給出了一些預備知識,包括分數(shù)階導數(shù)、Toeplitz矩陣與循環(huán)矩陣以及相關定理.第三章,研究了一維的雙邊空間分數(shù)階對流擴散方程的有限差分解法.結合一些學者所提出的有限差分法的思想,構造出方程在時間和空間上均可以達到二階精度的中心加權C-N格式,并對格式的穩(wěn)定性及收斂性進行了分析.最后給出數(shù)值算例,驗證了格式的有效性、精確性和可靠性.但該格式無法保證其離散系統(tǒng)的系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu),給計算帶來一定的困難.第四章,在中心加權C-N格式的基礎上進行改進,提出了一種時間和空間上均可以達到二階精度的新型加權C-N格式,該格式可使離散系統(tǒng)的系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu).接著分析了格式的解的存在唯一性、穩(wěn)定性及收斂性.最后給出數(shù)值算例，，驗證了格式的有效性、精確性和可靠性.第五章,研究了一維的雙邊空間分數(shù)階對流擴散方程的快速的有限差分解法.快速算法在和中心或新型加權C-N格式保持相同精度的前提下,通過快速Fourier變換,每個時間步長只需O(K)的存儲量和O(K log2K)的計算量.最后的數(shù)值算例驗證了快速算法的有效性和精確性.
【關鍵詞】：雙邊空間分數(shù)階對流擴散方程 Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù) 移位Gr(u|¨)nwald公式 快速有限差分法 Toeplitz和循環(huán)矩陣
【學位授予單位】：華南理工大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O241.82
【目錄】：

• 摘要5-6
• Abstract6-10
• 第一章 緒論10-15
• 1.1 分數(shù)階微積分的歷史簡介10
• 1.2 分數(shù)階微分方程的研究意義10-11
• 1.3 分數(shù)階微分方程數(shù)值解法的國內外研究現(xiàn)狀11-14
• 1.4 本文主要工作14-15
• 第二章 預備知識15-18
• 2.1 分數(shù)階導數(shù)15-16
• 2.2 Toeplitz矩陣與循環(huán)矩陣16-18
• 第三章 雙邊空間分數(shù)階對流擴散方程的中心加權C-N格式18-31
• 3.1 中心加權C-N格式19-23
• 3.2 穩(wěn)定性分析23-25
• 3.3 收斂性分析25-28
• 3.4 數(shù)值算例28-30
• 3.5 本章小結30-31
• 第四章 雙邊空間分數(shù)階對流擴散方程的新型加權C-N格式31-42
• 4.1 新型加權C-N格式31-33
• 4.2 解的存在唯一性33-34
• 4.3 穩(wěn)定性分析34-37
• 4.4 收斂性分析37-40
• 4.5 數(shù)值算例40-41
• 4.6 本章小結41-42
• 第五章 一種計算量為O(Klog~2K)的快速二階隱式有限差分解法42-49
• 5.1 一種O(K)存儲量的有限差分法42-43
• 5.2 基于FFT的一種O(Klog~2K)計算量的快速有限差分法43-46
• 5.3 數(shù)值算例46-47
• 5.4 本章小結47-49
• 總結與展望49-50
• 1.總結49
• 2.展望49-50
• 參考文獻50-58
• 攻讀碩士學位期間取得的研究成果58-59
• 致謝59-60
• Ⅳ-2答辯委貢會對論文的評定意見60

本文編號：784756