本文關鍵詞：一類自仿集與自仿測度的維數(shù)理論研究

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【摘要】：在一個度量空間中,迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)是一種重要的生成分形的手段。人們最為關注的兩類由IFS生成的分形集是自相似集和自仿集。其中,自仿集是由壓縮仿射組成的IFS生成的吸引子。在歐式空間中,自仿集是自相似集的推廣。本文將研究自仿集的維數(shù)。關于自相似集的維數(shù)研究已有系統(tǒng)完整的結果。而自仿集的維數(shù)計算及估計卻是相當困難。這是因為,相比于自相似集只需要討論覆蓋的大小和位置關系,自仿集覆蓋的形狀多變也是一個難點。關于自仿集的維數(shù),本文獲得如下兩個結果:1)針對一般自仿集的維數(shù)在多大程度上不依賴IFS中仿射的平移量的問題,本文將Jordan,Pollicott,Simon[23]的相關定理進行了推廣。通過de Finetti定理,本文把原定理條件中,平移量Y的隨機性由獨立同分布序列(iid sequence)推廣至一類可展序列(spreadable sequence),從而使得結論適用于更廣的一類隨機自仿集。2)針對特殊自仿集的維數(shù),給出了一個計算一部分Feng-Wang自仿集[15]的Minkowski維數(shù)的定理。該定理指出,其Minkowski維數(shù)公式是由自仿集在水平或垂直方向的投影集的Minkowski維數(shù),以及迭代矩形的系數(shù)決定的。該定理包含了Feng,Wang[15]的結果。最后,舉出兩例不滿足定理條件的自仿集。其中一例是Barański集,因而其維數(shù)結果仍可由Barański[2]的結果得到。另一例是尚未被研究過的Feng-Wang集,本文通過使用Feng,Wang[15]的組合結果,證明了該集合的Minkowski維數(shù)仍可由上述定理的維數(shù)公式得到。此外,通過使用Mc Mullen的方法,本文還估計了該集合的Hausdorff維數(shù)下界。
【關鍵詞】：分形 概率論 動力系統(tǒng) 自仿集 維數(shù)理論
【學位授予單位】：華南理工大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O189.11
【目錄】：

• 摘要5-6
• Abstract6-9
• Chapter 1 中文綜述9-17
• 1.1 維數(shù)理論9-11
• 1.2 自仿集11-17
• 1.2.1 一般自仿集的維數(shù)11-13
• 1.2.2 特殊自仿集的維數(shù)13-17
• Chapter 2 Preparatory material17-58
• 2.1 Independence17-22
• 2.2 Conditional expectations22-27
• 2.3 Ergodic theorems27-34
• 2.4 Ergodic decomposition34-40
• 2.5 Lyapunov exponents, exterior product and singular values40-45
• 2.5.1 Lyapunov exponents40-42
• 2.5.2 Exterior product and singular values42-45
• 2.6 The Furstenberg-Kesten Theorem45-56
• 2.7 Miscellaneous56-58
• Chapter 3 Bedford-McMullen sets58-72
• 3.1 Minkowski dimension and Packing dimension58-60
• 3.2 Lemmas60-64
• 3.3 Hausdorff dimension64-66
• 3.4 Hausdorff measure66-72
• Chapter 4 Feng-Wang self-affine sets72-85
• 4.1 Introduction72-73
• 4.2 Proof of Theorem 4.1.273-77
• 4.3 Counterexamples77-85
• Chapter 5 Randomly perturbed self-affine attractors85-107
• 5.1 Introduction85-92
• 5.2 Preparatory material92-97
• 5.2.1 Singular value function92-95
• 5.2.2 Thermodynamical formalism95-97
• 5.3 Main results97-103
• 5.4 Generalization103-107
• Bibliography107-111
• 攻讀碩士學位期間取得的研究成果111-112
• 致謝112-113
• Ⅳ－2答辯委員會對論文的評定意見113

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本文編號：561416