本文關鍵詞：兩類二次可逆系統(tǒng)的極限環(huán)和Abel積分研究，，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

【摘要】：迄今為止,Hilbert第16問題依然是非線性微分方程中的最著名且最具挑戰(zhàn)性的一個問題。V.I.Arnold在1977年提出了該問題的一個弱化形式,之后研究弱化的希爾伯特第16問題成為當今微分方程研究的前沿和熱點問題之一。但到目前為止,此問題的大部分結果還是關于Hamilton系統(tǒng)的,對于可積非Hamilton系統(tǒng)研究較少。近年來可積非Hamilton系統(tǒng)中的可逆系統(tǒng)受到人們的普遍關注,但是由于缺少方法,研究仍然比較困難�；谶@樣的背景,本文以定性理論為基礎,通過兩種不同方法分別考慮了當擾動次數(shù)不同時的兩類二次可逆系統(tǒng):當擾動多項式項次數(shù)為4的時候,首先通過研究該二次可逆系統(tǒng)軌線的有關性態(tài),結合判定函數(shù)的有關定義給出了該系統(tǒng)的一個判定函數(shù)。再通過對判定函數(shù)中相應參數(shù)進行適當?shù)馁x值得到關于極限環(huán)個數(shù)的結論。最后運用數(shù)值模擬的方法確定了這些極限環(huán)的確切位置,進一步驗證了得到的結論;當擾動多項式項次數(shù)為任意n的時候,通過該系統(tǒng)的Hamilton量進行適當變換,得到有關的Picard-Fuchs方程和Riccati方程。再尋找PicardFuchs方程和Riccati方程之間的關系,最后得到了該系統(tǒng)的Abel積分零點個數(shù)的線性估計。研究結果表明:當擾動次數(shù)較低的時候可以選擇判定函數(shù)與數(shù)值模擬的方法來得到極限環(huán)的個數(shù)并確定它們所在的位置;當擾動次數(shù)較高的時候運用PicardFuchs方程和Riccati方程來研究Abel積分的零點個數(shù)上界。本文中得到的結論是一類二次可逆系統(tǒng)在4次多項式擾動的情況下可以產(chǎn)生3個極限環(huán),并且給出了每個極限環(huán)經(jīng)過的確切位置;另一類二次可逆系統(tǒng)在任意n次多項式的擾動下,當n≥3時,Abel積分的零點個數(shù)上界為7[n/2]-4。
【關鍵詞】：二次可逆系統(tǒng) 極限環(huán) Abel積分 判定函數(shù) 數(shù)值模擬 Picard-Fuchs方程 Riccati方程
【學位授予單位】：云南財經(jīng)大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O175
【目錄】：

• 摘要3-4
• Abstract4-8
• 第一章 引言8-16
• 1.1 研究背景8-13
• 1.1.1 希爾伯特第16問題8-11
• 1.1.2 二次系統(tǒng)的分類11-12
• 1.1.3 二次可逆系統(tǒng)12-13
• 1.2 研究現(xiàn)狀13-14
• 1.3 研究內(nèi)容和研究方法14-15
• 1.4 創(chuàng)新點15-16
• 第二章 弱化希爾伯特第16問題的主要研究方法及其相關應用16-24
• 2.1 判定函數(shù)與數(shù)值探測的方法16-20
• 2.1.1 判定函數(shù)與數(shù)值探測16-19
• 2.1.2 判定函數(shù)與數(shù)值探測方法的一些應用19-20
• 2.2 Picard-Fuchs方程和Riccati方程方法20-24
• 2.2.1 Picard-Fuchs方程和Riccati方程20-21
• 2.2.2 關于Picard-Fuchs方程方法的一些應用21-24
• 第三章 一類二次可逆系統(tǒng)的極限環(huán)研究24-30
• 3.1 非擾動系統(tǒng)的分析24-26
• 3.2 擾動系統(tǒng)極限環(huán)的分析26-28
• 3.3 有關結論28-30
• 第四章 一類二次可逆系統(tǒng)的Abel積分的零點估計30-43
• 4.1 基本知識30-32
• 4.2 Abel積分及其表示32-36
• 4.3 Picard-Fuchs方程和Riccati方程36-39
• 4.4 Abel積分零點個數(shù)的線性估計39-41
• 4.5 有關結論41-43
• 結論與展望43-45
• 參考文獻45-49
• 致謝49-50
• 本人在讀期間的研究成果50

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本文編號：432611