發(fā)布時間：2021-07-23 14:32

　　近年來,分數(shù)階微分方程等相關問題因其重要的實際應用背景變成數(shù)學界專家學者們探討的重點。然而分數(shù)階導數(shù)具有時間層數(shù)和空間長度依賴性,通常情況下此類方程的精確解必須使用十分復雜的級數(shù)才能表示,因此深入探索合理可行的數(shù)值處理辦法解決相關問題的現(xiàn)實意義十分重大。文章深入探究一維和二維具有可變系數(shù)的單邊空間分數(shù)階對流擴散方程,此類問題出現(xiàn)的實際背景是粒子等在物理系統(tǒng)里的一種反常擴散現(xiàn)象。我們考慮Riemann-Liouville（RL）定義的分數(shù)算子,在相關有限差分方法的現(xiàn)存文獻中,針對這種定義的處理方式大多是基于經(jīng)典和移位的r（5）（5）Letnikov-nwaldu G公式,其他算法比較少見。于是本文基于線性樣條插值推導出在時間和空間上均具有二階精度的有限差分方法。與此同時,本文也首次用一種無網(wǎng)格算法,也就是光滑粒子流體動力學（SPH）方法對單邊空間分數(shù)階對流擴散方程進行數(shù)值計算,現(xiàn)有文獻中,還沒有出現(xiàn)用SPH方法處理這類方程的。本文的主要工作:首先基于線性樣條插值進行半離散,給出具有二階精度的RL空間分數(shù)階導數(shù)的數(shù)值離散化,再考慮Crank-Nicolson（CN）思想處理時間導數(shù)得到全離... 

【文章來源】：哈爾濱工業(yè)大學黑龍江省 211工程院校 985工程院校

【文章頁數(shù)】：60 頁

【學位級別】：碩士

【部分圖文】：

SCN方法的數(shù)值解與精確解

哈爾濱工業(yè)大學理學碩士學位論文24ijijjijiWTTnpp1（3-27）iijijijjiqfWpnptT1（3-28）3.5數(shù)值算例本節(jié)將通過三個不同的一維空間分數(shù)階對流擴散方程來研究SCN方法在數(shù)值精度、收斂性、穩(wěn)定性等方面的表現(xiàn)。對于存在解析解的數(shù)值算例，將計算SCN方法和SPH方法的實驗數(shù)據(jù)與解析解之間的差別；對于不存在解析解的算例，用SCN方法模擬其方程擴散。例3.1模擬如下方程10,,,1,0,010,,00,10,,10,,2,,,1tetutuxxuxuxtxxetxxutxuDtttxxt該方程的解析解為1,xetxut.令1.8,空間步長x025.0,時間步長t001.0.1)如圖3-1，計算從ts1.0開始到ts9.0,每隔0.2s，SCN方法計算得到的數(shù)值解（點表示）與其精確解（線表示）之間的關系。2)如圖3-2，計算出當ts1時刻SCN方法和SPH方法得到的數(shù)值解與精確解的三個對應點。圖3-1SCN方法的數(shù)值解與精確解圖3-2SCN方法、SPH方法的數(shù)值解與精確解

哈爾濱工業(yè)大學理學碩士學位論文26初值條件421022exp20.0110,-xxu邊界條件,4,0tutu給出不同下的擴散過程。如圖3-3，我們可以發(fā)現(xiàn)當2時反常擴散逐漸消失，與已有實驗結果一致，同時也證明SCN方法的有效性。1.31.51.71.99圖3-3不同下擴散方程的變化情況將SCN思路擴展到問題中存在左右RL導數(shù)的情況，如下式


本文編號：3299472