絕大多數(shù)生物系統(tǒng)的發(fā)展演化具有兩個顯著特征:一是存在時滯,即系統(tǒng)的發(fā)展演化不僅依賴于當前的狀態(tài),還與過去的狀態(tài)有關;二是存在空間擴散,即無論是人還是其它生物都生活在空間環(huán)境中,并在空間上進行擴散。因此,利用具有時滯的反應擴散動力學模型能夠更準確地刻畫生物系統(tǒng)演化的時空現(xiàn)象。本文針對幾類生物系統(tǒng),建立了具有時滯的捕食者-食餌和傳染病擴散模型,通過研究系統(tǒng)的時空動力學行為,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在Hopf分支,Turing分支(Turing失穩(wěn))以及豐富的點狀、迷宮和黑眼斑圖,進一步研究了 Hopf分支周期解的穩(wěn)定性及周期等性質(zhì),并計算了傳染病流行結束后的最終流行病規(guī)模。該研究結果解釋了某些生物系統(tǒng)中出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象以及空間斑圖呈現(xiàn)的原因,為研究捕食者-食餌系統(tǒng)和傳染病的演化規(guī)律及發(fā)展過程提供理論基礎,為后續(xù)演化規(guī)律預測提供一定的參考。主要研究內(nèi)容概括如下:(1)介紹了幾類典型生物動力系統(tǒng)研究的背景與意義;總結了生物動力系統(tǒng)建模和分析的基本方法及研究進展,同時給出了一些基本概念和理論;并介紹本文的主要工作。(2)建立了一個具有額外食物供應的時滯捕食者-食餌擴散模型,給出了 Hopf分支的存在條件,進一步利用中心流形定理和規(guī)范型理論,給出了分支方向、分支周期解的穩(wěn)定性、周期和振幅。通過數(shù)值模擬展示了空間周期解。研究表明時滯可使捕食者和食餌以周期振蕩的形式持續(xù)共存。(3)建立了一個捕食者種群中有傳染病傳播的時滯捕食者-食餌擴散動力學模型,利用特征方程根的分布,給出了系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的時滯條件及Turing失穩(wěn)的擴散條件。通過數(shù)值模擬展示了兩種不同的黑眼斑圖。研究表明在捕食者種群中有傳染病條件下,時滯影響了捕食者和食餌的穩(wěn)定共存,而擴散影響了捕食者和食餌在空間上的分布結構。(4)建立了具有潛伏期時滯的SEI傳染病擴散模型,通過直接分析超越特征方程根的分布,給出了 Hopf分支和Turing分支發(fā)生的條件。通過數(shù)值模擬,展示了染病者的數(shù)量隨時間變化呈現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象以及染病者的Turing斑圖演化過程。研究表明潛伏期時滯可引發(fā)系統(tǒng)出現(xiàn)周期解,而擴散誘導染病群體以不同的形式出現(xiàn)聚集現(xiàn)象,如點狀斑圖,迷宮斑圖以及黑眼斑圖等形式。該結果可為傳染性疾病的防控提供理論指導。(5)基于年齡結構思想,通過嚴格的數(shù)學推導,構建了具有自適應重連和染病期時滯的SIR網(wǎng)絡傳染病模型,分析了基本再生數(shù)以及最終流行病規(guī)模。通過數(shù)值和隨機模擬發(fā)現(xiàn):自適應重連可以抑制傳染性疾病的傳播并推遲傳染病的爆發(fā)時間,而染病期的延長會促進疾病的傳播。該結果可為具有時滯因素的生物系統(tǒng)的建模研究提供新的方法,并為疾病的防控提供理論基礎。
【學位單位】：中北大學
【學位級別】：博士
【學位年份】：2018
【中圖分類】：O175
【部分圖文】：

圖１．１?ＳＩＲ傳染病的倉室框圖??

系統(tǒng)（２．１）的平衡點ｆ將失去穩(wěn)定性，并從這個平衡點分支出一族漸近穩(wěn)定的空間齊??次周期解。而且，／／２＞０，乃＞〇表明分支方向是超臨界的，且周期隨著時間的增大而增??大。圖２．１和圖２．２展示了上述現(xiàn)象。圖２．１?（ａ）和（ｂ）展示了當ｒ?＝?０．％＜?＜時，正平衡點￡＊??是漸近穩(wěn)定的，而且（ｃ）（ｅ）和（ｄ）（ｆ）分別展示了在不同空間位置ｘ?＝?８，ｘ?＝?１５處的食餌和捕??食者的數(shù)量隨時間變化的情況，即食餌和捕食者的數(shù)量在不同的空間位置最終都趨于平??衡點并且在不同的空間位置，數(shù)量隨時間演化的過程都一樣。在圖２．２（ａ）和（ｂ），當??ｒ?＝?ｌ．ｌ＞ｒ；；時，空間齊次的周期解是漸近穩(wěn)定的，Ｉｆｌｆ且在圖（ｃ）（ｅ）和（ｄ）（ｆ）中，食餌和捕食??齊的數(shù)迮個同空間位置ｘ?＝?８，?＾?＝?１５處隨時Ｉ＇ｌｉｊ做周期振蕩，Ｈ報蕩的頻率和報幅在不同??的空間位置是…樣的。??３４０１?１１５飛??（ａ）?〇〇?Ｔｉｍｅｔ?（ｂ）?０?０?Ｔｉｍｅｔ??３４０．???■?＞?■??１１４｜?．?．?．?１???３３０?Ｌ?１１２＾??１３１。＾?；卜＾???ｗ?ｗ??２８０ｏ?５００?ｉｏｏｏ?１５００?２０００?１〇２〇?湖?隱?隱?蠢??（ｃ）?Ｔｉｍｅｔ?（ｄ）?Ｔｉｍｅｔ??３５??

??而圖３．２（ｂ）被劃分成了四個區(qū)域，由于Ｔｕｒｉｎｇ分支和Ｈｏｐｆ分支出現(xiàn)在區(qū)域１中，平衡??點礦變得不穩(wěn)定。在區(qū)域２中，Ｔｍｎｇ失穩(wěn)引起平衡點纊變成不穩(wěn)定的，并會出現(xiàn)Ｔｕｒｍｇ??斑圖，此區(qū)域稱為Ｔｕｒｉｎｇ區(qū)域。在區(qū)域３中，平衡點ｆ是無條件穩(wěn)定的。在區(qū)域４中，??系統(tǒng)（３．３）發(fā)生Ｈｏｐｆ分支導致ｆ變得不穩(wěn)定。??〇１５｜?１?？?１?＇???０．１５｜?＇?■??＇?ｙ???．／?Ｈｏｐｆ?ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ?ｌｉｎｅ?／??０１４６?１?／?０．１２?＼?Ｌ??丨?Ｈｏｐｆ?ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ?ｌｉｎｅ?３?Ｆ?＾?／?＼??Ｉ、?Ｘ?〇?Ｑｇ?４?Ｔｕｒｉｎｇ?ｂｉｆｔｉｒｃａｔｉｏｎ?ｌｉｎｅ．??〇?１３８?ｊ?＼??ｒ?Ｔｕｒｉｎｇ?ｂｉｆｔｉｒｃａｔｉｏｎ?ｌｉｎｅ??１?０．０４?一＾??０．１３４?１??０１３〇?ｏ．ｏｉ?ｏ．〇２?〇．〇３?０．０４?＾０?０．０３?０．０６?．０．０９?０．１２?０．１５??（ａ）?ｈ?（ｂ）?ｈ??圖３．２在參數(shù)空間ｒ－／ｒ中系統(tǒng)（３．３）的分支圖。⑷參數(shù)是爲＝１．８，／ｉ?＝?０．６，０．８，■０，＝；！，?￡？：＝?０．０３，??Ａ?二?２，?ｒ?二?０．０１?（ｂ）參數(shù)是片一?１．８，?Ａ?—〇．６，二?０．７，?１０，?Ａ?－０．１，￡＞３?二?４，?ｒ?—０．０１。??根據(jù)定理３．３，對于存在々＞?０使得４（Ａ％ｒ）?＜?０和存在々＞?０使得／（／：，ｒ）＝??ａ，認，＋?（Ａ，ｒ）?＜?０的情況，如果兩種情況中至少有一？種情況成立，就可以找到??Ｔｕｒｉｎｇ失穩(wěn)的參數(shù)Ｋ域。因此
【參考文獻】

相關期刊論文 前3條

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本文編號：2886977