帶自相容源的可積系統(tǒng)和孤立子方程在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中有重要的應(yīng)用。近年來,可積系統(tǒng)和孤立子方程的帶自相容源拓展吸引了很多研究者的興趣。其中一種重要的擴(kuò)展方法是平方特征函數(shù)對(duì)稱方法(或稱“ghost”流對(duì)稱),已經(jīng)在很多種可積系統(tǒng)上得以應(yīng)用,例如通過平方特征函數(shù)對(duì)稱方法得到了擴(kuò)展的B型Kadomtsev-Petviashvili方程族(簡(jiǎn)稱擴(kuò)展BKP方程族)。Darboux變換和雙Darboux變換,作為求解孤立子方程的重要工具之一,在平方特征函數(shù)對(duì)稱方法中也起到了非常重要的作用。在離散可積系統(tǒng)中,如離散KP方程,構(gòu)造出由特征函數(shù)和伴隨特征函數(shù)構(gòu)成的勢(shì)函數(shù)是實(shí)現(xiàn)雙Darboux變換的必要途徑。本文第一部分主要研究擴(kuò)展BKP方程族的雙線性等式。對(duì)擴(kuò)展BKP方程族,我們通過引入滿足平方特征函數(shù)對(duì)稱的輔助時(shí)間流,先對(duì)原BKP方程族附加上輔助時(shí)間流構(gòu)造了雙線性留數(shù)恒等式,再將輔助時(shí)間流結(jié)合到特定某個(gè)時(shí)間流上形成擴(kuò)展BKP方程族,最終得到了擴(kuò)展BKP方程族的雙線性恒等式。我們?cè)诙x了擴(kuò)展BKP方程族的τ-函數(shù)后,由雙線性恒等式生成了擴(kuò)展BKP方程族的Hirota雙線性方程的零曲率形式,并計(jì)算了一些特定指標(biāo)下的例子,這些例子包括兩類帶自相容源的(2+1)-維Sawada-Kotera方程的雙線性方程。這其中的第二型帶自相容源的(2+1)-維Sawada-Kotera方程(2d-SKw S-II)的Hirota雙線性方程是一個(gè)新結(jié)果。我們對(duì)得到的雙線性方程給出了轉(zhuǎn)寫為非線性偏微分方程的方法,也計(jì)算了一些例子,這驗(yàn)證了我們得到的結(jié)果的正確性。這些雙線性方程是之后的求n-孤立子解、擬周期解等研究工作的基礎(chǔ)。本文第二部分主要構(gòu)造了擴(kuò)展的非交換離散KP方程。我們通過離散變量的勢(shì)函數(shù)推導(dǎo)出了離散變量的非交換離散KP方程的雙Darboux變換的具體表達(dá)式和多次迭代雙Darboux變換的擬行列式表達(dá)。我們通過平方特征函數(shù)對(duì)稱性質(zhì),以雙Darboux變換為工具,對(duì)某個(gè)特定方向上的移位算子進(jìn)行了修正,從而擴(kuò)展了非交換離散KP方程。我們給出了帶自相容源的非交換離散KP方程的線性問題及其伴隨線性問題的具體表達(dá)式,并給出了退化至交換情形的帶自相容源的離散KP方程的方法。本文得到的帶相容源的非交換離散KP方程是先前的研究中未曾提出的,在接下來的研究中我們可以考慮求得其精確解的表達(dá)式。
【學(xué)位單位】：清華大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位年份】：2015
【中圖分類】：O175.29
【文章目錄】：
摘要
Abstract
主要符號(hào)對(duì)照表
第1章 引言
    1.1 選題背景及意義
    1.2 文獻(xiàn)綜述
    1.3 文章各部分的主要內(nèi)容
第2章 預(yù)備知識(shí)
    2.1 重要引理
    2.2 擬行列式簡(jiǎn)介
第3章 擴(kuò)展BKP方程族的雙線性恒等式構(gòu)造
    3.1 擴(kuò)展BKP方程族簡(jiǎn)介
    3.2 帶平方特征函數(shù)對(duì)稱的BKP方程族的雙線性恒等式
    3.3 擴(kuò)展BKP方程族的雙線性恒等式
    3.4 擴(kuò)展BKP方程族的τ函數(shù)及雙線性方程
    3.5 將雙線性方程轉(zhuǎn)寫為非線性偏微分方程
第4章 非交換離散KP方程的帶自相容源拓展
    4.1 非交換離散KP方程及其雙Darboux變換
    4.2 非交換離散KP方程的擬行列式解
    4.3 帶自相容源的非交換離散KP方程
第5章 結(jié)論
    5.1 論文的主要工作
    5.2 進(jìn)一步開展的工作
參考文獻(xiàn)
致謝
個(gè)人簡(jiǎn)歷、在學(xué)期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文與研究成果

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本文編號(hào)：2874488