隨著科學(xué)和工程技術(shù)的發(fā)展,越來越多的領(lǐng)域提出了對復(fù)雜問題高性能數(shù)值計算的要求.比如對于機械工程、材料科學(xué)、航空航天和衛(wèi)星遙感等在各種實際條件下的形態(tài)以及行為做出更精確的模擬及進(jìn)一步的預(yù)測.對這些復(fù)雜系統(tǒng)做更精確的模擬則需要更復(fù)雜的如非局部和非線性的抽象模型,比如不滿足Fick定律的反常擴(kuò)散現(xiàn)象在自然科學(xué)和社會科學(xué)中是大量存在的,需要采用具有歷史依賴和非局部性質(zhì)的分?jǐn)?shù)階微分算子來進(jìn)行模擬.這些非局部和非線性復(fù)雜模型在數(shù)值求解時又往往會形成一個大規(guī)模且稠密的離散系統(tǒng),如何快速求解這樣的大規(guī)模問題或者降低問題的規(guī)模成為當(dāng)前日益關(guān)注的問題.下面介紹本文的工作.第一部分、分?jǐn)?shù)階微分方程的相關(guān)模型及其數(shù)值方法與應(yīng)用在自然現(xiàn)象中,不混溶的液相、液相與氣相、氣相與固相、以及液相與固相是普遍存在的.不混溶相的界面動力學(xué)在多相系統(tǒng)的形成與相變機制以及演化中起著非常重要的作用,但是在建模和數(shù)值求解計算上都是一項非常困難的任務(wù).有效描述多相系統(tǒng)的可計算數(shù)學(xué)模型的發(fā)展和相應(yīng)的有效且高效的數(shù)值方法已經(jīng)成為多相系統(tǒng)研究中的主要挑戰(zhàn).另一方面,由于分?jǐn)?shù)階微積分具有的歷史依賴與非局部的特性比較適合諸如反常擴(kuò)散中的記憶和非局部等性質(zhì),因此分?jǐn)?shù)階方程比整數(shù)階方程更能有效的描述這些復(fù)雜系統(tǒng).隨著涉及的應(yīng)用領(lǐng)域越來越多,分?jǐn)?shù)階微積分方程的研究逐漸成為一個新的活躍領(lǐng)域.在理論分析和數(shù)值模擬等多方面,分?jǐn)?shù)階方程為描述復(fù)雜現(xiàn)象提供新的視角和工具,但同時帶來了很多新的挑戰(zhàn).我們考慮了如下的幾個問題:1.相場模型的分?jǐn)?shù)階建模與快速算法·時空分?jǐn)?shù)階Allen-Cahn模型及其數(shù)值算法.Allen-Cahn模型可以用于描述如凝固及結(jié)晶等物理問題中多相變化過程,通過將經(jīng)典模型中的拉普拉斯算子替換為分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子可以在界面厚度參數(shù)較大的情況下能夠靈活地控制調(diào)節(jié)界面銳度來更精確地跟蹤界面演化,同時還引入時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來描述模型的長時間記憶或延遲效應(yīng).我們提出了一個預(yù)條件的快速及節(jié)約存儲的數(shù)值格式,計算量由直接解法的O(NV3)降至O(NVlogN),存儲量由O(NV2)降至O(N),可以快速地求解大規(guī)模系統(tǒng).并且初步研究了時空分?jǐn)?shù)階參數(shù)的變化對該模型的銳度和延遲效應(yīng)的影響,數(shù)值實驗驗證了該模型具有良好的建模能力可以更好地跟蹤界面演化.·空間分?jǐn)?shù)階Allen-Cahn模型及其二階無條件能量穩(wěn)定的數(shù)值算法.由于模型中包含的非線性勢函數(shù)項和分?jǐn)?shù)階微分算子導(dǎo)致的復(fù)雜性,尚未有文獻(xiàn)提出具有嚴(yán)格證明的無條件能量穩(wěn)定的高效且精確的數(shù)值計算格式.而我們采用不變能量二次化方法,引入輔助變量來保證自由能密度是一個不變的二次泛函,得到等價模型,通過半顯式處理非線性項,構(gòu)造了一階和二階半離散格式,其方程組由每個時刻上的線性分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程構(gòu)成,由于系數(shù)矩陣算子是對稱正定的,從而可以有效求解半離散系統(tǒng).我們進(jìn)一步證明采用這種方法所提出的數(shù)值格式是無條件能量穩(wěn)定的,在采用節(jié)點配置法進(jìn)行空間離散得到全離散格式后,通過數(shù)值實驗驗證了該數(shù)值算法的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性.2.形狀記憶聚合物分?jǐn)?shù)階建模與算法·形狀記憶聚合物的變階分?jǐn)?shù)階微分方程模型及其數(shù)值算法.形狀記憶聚合物能夠記憶其原始形狀,可以在形變時獲得暫時形狀并且響應(yīng)外部刺激而恢復(fù)到其永久形狀.描述其形狀記憶效應(yīng)的早期模型是結(jié)合描述理想固體的胡克定律和描述理想流體的牛頓粘性定律得到的,而考慮到形狀記憶聚合物的形狀可以響應(yīng)外部刺激溫度的波動而產(chǎn)生巨大的變化,并反應(yīng)在其微觀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上,因此變階分?jǐn)?shù)階微分方程模型更適合描述形狀記憶效應(yīng).對于該模型我們構(gòu)造了數(shù)值格式求解給定可變階數(shù)的正問題,而由于實際中可變階數(shù)的未知性,我們還研究了其反問題,即通過物理數(shù)據(jù)來確定可變階數(shù),并通過自適應(yīng)方法保證其精度.數(shù)值實驗驗證了模型的模擬效果及數(shù)值格式的有效性.第二部分、最優(yōu)控制問題及其數(shù)值方法最優(yōu)控制問題可以概括為:對一個受控的系統(tǒng),從已有的控制方案中找出一個最優(yōu)的控制方案,使得目標(biāo)性能指標(biāo)值達(dá)到最優(yōu).在一定的條件下,投入最少的成本,獲得最大的收入和利益,這普遍存在于工程、金融、醫(yī)藥等眾多實際應(yīng)用領(lǐng)域的模型中.本文中我們研究了帶有點態(tài)控制受限的受橢圓偏微分方程約束的最優(yōu)控制問題的自適應(yīng)有限元方法.·自適應(yīng)有限元方法具有諸多優(yōu)點,能夠根據(jù)局部誤差指示子自動判斷并在誤差最大處進(jìn)行加密,提高了計算精度和效率,以及通過誤差估計給出計算結(jié)果的誤差范圍等.最優(yōu)控制問題自適應(yīng)有限元方法的收斂率理論分析較少,而且已有算法需要外層自適應(yīng)加密迭代和內(nèi)層求非線性問題迭代兩層迭代,對于內(nèi)迭代的誤差及大量的計算工作在于反復(fù)求解非線性問題等方面沒有考慮.我們采用變分離散方式離散控制變量以及分片線性連續(xù)函數(shù)逼近狀態(tài)變量,提出了一個收斂并節(jié)省計算量的自適應(yīng)有限元算法,該算法僅含一層加密迭代,即內(nèi)層非線性迭代僅需迭代一次,有效地節(jié)省了計算量.基于對該問題的后驗誤差估計以及數(shù)據(jù)振蕩的縮減,得到了算法的整體收斂性并證明其具有線性收斂速率,并通過一些數(shù)值實驗驗證了理論結(jié)果.
【學(xué)位單位】：華東師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位年份】：2018
【中圖分類】：O241.8
【部分圖文】：

１．１．２相場模型??在自然界中，不混溶的液相、液相與氣相、氣相與固相、以及液相與固相是??普遍存在的（圖１．１）．不混溶相的界面動力學(xué)在多相系統(tǒng)的形成與相變機制以及演??化中起著非常重要的作用丨３６，?６１，?９６Ｕ旦是在求解計算上是一項非常困難的任務(wù)．??有效描述多相系統(tǒng)的可計算數(shù)學(xué)模型的發(fā)展和相應(yīng)的有效且高效的數(shù)值方法已經(jīng)??成為多相系統(tǒng)研究中的主要挑戰(zhàn)．??比如在描述凝固及結(jié)晶等過程中常用的物理界面模型可以分為兩類：自由邊??界模型和相場模型．自由邊界模型采用尖銳界面近似，即假定不同相的交界面厚度??為零，在整個區(qū)域內(nèi)非此即彼，相變在瞬間完成，每一個相都遵守自己的守恒定律??和本構(gòu)關(guān)系，不同相的相互作用由界面上施加的邊界條件決定，不同相的物理量在??界面上可能是不連續(xù)的丨１７，?７３，?１６５］．關(guān)于自由邊界模型已經(jīng)有多種不同的數(shù)值方??法來數(shù)值模擬，包括前沿跟蹤方法丨７３，?１７０］和移動網(wǎng)格法丨５１，?８６］等．在數(shù)值求解??時，自由邊界模型需要將不同的相分開處理，并且還要跟蹤界面的演化，這在數(shù)值??上是很困難的

圖１．４：尖銳界而與擴(kuò)散界而對比．??

當(dāng)，一o.i,T二
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本文編號：2873596