【摘要】：受控理論幾乎滲透到數(shù)學的各個分支領域而且處處扮演者精彩的角色.在受控理論的研究中,有兩項工作是重要而基礎的,一是發(fā)現(xiàn)和建立向量間的控制關系,二是發(fā)現(xiàn)和證明各種Schur-凸函數(shù).因為控制關系深刻地描述了向量間的內(nèi)在聯(lián)系,一個控制關系與適當?shù)腟chur-凸函數(shù)的結(jié)合,常常能繁衍出許多形形色色的有趣的不等式.凸函數(shù)與Schur-凸函數(shù)是密不可分的,一個廣為人知的結(jié)論是:多元對稱凸函數(shù)是Schur-凸函數(shù).近年來,有關廣義凸函數(shù)的研究是一個非常活躍的課題.有些廣義凸函數(shù)和Schur-凸函數(shù)理論結(jié)合起來可以構建一些新的Schur-凸函數(shù)理論,例如幾何凸函數(shù)和Schur-幾何凸函數(shù)理論,調(diào)和凸函數(shù)和Schur-調(diào)和凸函數(shù)理論.本學位論文的具體內(nèi)容如下:首先,證明了一個涉及循環(huán)移動平均的控制不等式,這是由一個單調(diào)遞減的向量生成的兩個向量之間的一種控制關系.從而解決了 Ingram Olkin教授在2006年提出的一個公開問題.其次,引入了一種廣義凸函數(shù):算術m-冪凸函數(shù).當m = 1時,算術m-冪凸函數(shù)是凸函數(shù).并證明了如下結(jié)論:多元對稱算術m-冪凸函數(shù)是Schur-凸函數(shù).并且研究了算術m-冪凸函數(shù)的性質(zhì),進而討論了初等對稱復合函數(shù)的Schur-凸性及其逆問題,并建立了幾個涉及算術平均的不等式.然后,引入了幾何m-冪凸函數(shù)和調(diào)和m-冪凸函數(shù).當m = 0時,幾何m-冪凸函數(shù)是幾何凸函數(shù);當m =-1時,調(diào)和m-冪凸函數(shù)是調(diào)和凸函數(shù).并證明了如下結(jié)論:多元對稱幾何(調(diào)和)m-冪凸函數(shù)是Schur-幾何(調(diào)和)凸函數(shù).并且研究了幾何m-冪凸函數(shù)和調(diào)和m-冪凸函數(shù)的性質(zhì),進而討論了初等對稱復合函數(shù)的Schur-幾何(調(diào)和)凸性及其逆問題,并建立了幾個涉及幾何和調(diào)和平均的不等式.最后,引入了廣義冪凸函數(shù)的概念,本文記為Mm1-Mm2-凸函數(shù).當m1分別等于1,0,-1時,Mm1-Mm2-凸函數(shù)分別是算術m2-冪凸函數(shù),幾何m2-冪凸函數(shù)和調(diào)和m2-冪凸函數(shù).并證明了如下結(jié)論:多元對稱Mm1Mm2-凸函數(shù)是Schur m1-冪凸函數(shù).并且研究了Mm1Mm2-凸函數(shù)的相關性質(zhì)。
【學位授予單位】：內(nèi)蒙古大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O174.13

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本文編號：2791515