【摘要】：偏微分方程中解的奇異性來(lái)源于物理學(xué)和幾何學(xué)中的很多實(shí)際問(wèn)題。因此對(duì)方程解的奇異性研究,受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度重視。目前,對(duì)解的奇異性研究大部分都在經(jīng)典的Lebesgue和Sobolev空間理論下進(jìn)行的,但是,近年來(lái),出現(xiàn)了很多具有非標(biāo)準(zhǔn)增長(zhǎng)的問(wèn)題,例如：電流變流體、非彈性力學(xué)、圖像恢復(fù)等模型。對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行研究時(shí),具有常指數(shù)的Lebesgue和Sobolev空間理論不再適用。因此,在變指數(shù)Lebesgue和Sobolev空間理論下研究方程解的奇異性成為必要。本文在變指數(shù)Lebesgue和Sobolev空間理論框架下研究了幾類橢圓方程解的可去奇性問(wèn)題。首先,對(duì)一類具變指數(shù)增長(zhǎng)橢圓方程解的孤立奇點(diǎn)進(jìn)行研究。采用新的迭代技巧,得到方程解在孤立奇點(diǎn)附近的性態(tài)；根據(jù)已得到解的增長(zhǎng)性態(tài)構(gòu)造合適的對(duì)數(shù)型檢驗(yàn)函數(shù),得到方程解的L∞。估計(jì)；以此為基礎(chǔ)給出這類方程解的孤立奇點(diǎn)可去的充分性條件,證明在某種假設(shè)條件下解的孤立奇點(diǎn)是可去的。其次,在變指數(shù)空間理論下對(duì)一類吸收項(xiàng)具有退化因子的散度型橢圓方程解的零奇點(diǎn)可去性問(wèn)題進(jìn)行研究。通過(guò)構(gòu)造合適的檢驗(yàn)函數(shù)并利用Moser迭代的方法,得到方程解在零奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)的性態(tài)。在此基礎(chǔ)上,采用合適的對(duì)數(shù)型檢驗(yàn)函數(shù)得到方程解在零奇點(diǎn)的局部有界性,并以此證明在某些特定的假設(shè)條件下方程解的孤立奇點(diǎn)零是可去的。然后,對(duì)一類具變指數(shù)增長(zhǎng)橢圓方程解的零容度奇異集進(jìn)行研究。采用在緊子集中每一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)研究解的性質(zhì)的方法,通過(guò)構(gòu)造合適的檢驗(yàn)函數(shù)得到解的Caccioppoli估計(jì),在此基礎(chǔ)上,證明方程解在奇異集鄰域內(nèi)的有界性,進(jìn)而,得到方程解的零容度奇異集可去性條件。最后,對(duì)更一般的具變指數(shù)增長(zhǎng)橢圓方程Holder連續(xù)解的緊奇異集的可去性進(jìn)行研究,借助障礙問(wèn)題和非負(fù)Radon測(cè)度的理論給出緊奇異集可去的充分性條件。利用單調(diào)算子理論得到有關(guān)此類方程障礙問(wèn)題解的存在性。給出障礙問(wèn)題解的Harnack估計(jì),并以此證明當(dāng)障礙連續(xù)時(shí),解也是連續(xù)的。在此基礎(chǔ)上,利用Radon測(cè)度的性質(zhì),得到當(dāng)緊集的某Hausdorff測(cè)度為零時(shí),方程Holder連續(xù)解的緊奇異集是可去的。
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O175.2

【共引文獻(xiàn)】

相關(guān)博士學(xué)位論文 前3條

1 徐博馳;幾類隨機(jī)指數(shù)函數(shù)空間的研究[D];哈爾濱工業(yè)大學(xué);2014年

2 楊苗苗;Young測(cè)度在具變指數(shù)增長(zhǎng)問(wèn)題中的幾個(gè)應(yīng)用[D];哈爾濱工業(yè)大學(xué);2014年

3 向明啟;具有變指數(shù)增長(zhǎng)的非線性發(fā)展方程與變分不等式[D];哈爾濱工業(yè)大學(xué);2014年

相關(guān)碩士學(xué)位論文 前1條

1 趙娜;擬線性橢W型方程解的若干性質(zhì)[D];杭州電子科技大學(xué);2011年

本文編號(hào)：2786138