【摘要】：交替方向法(ADMM)起源于20世紀70年代微分方程數(shù)值解領(lǐng)域,可追溯到20世紀50年代著名的算子分裂算法,如Dougals-Rachford分裂算法、Peaceman-Rachford算子分裂算法等,在上世紀80年代初被引入優(yōu)化領(lǐng)域,逐漸成為凸優(yōu)化算法中一類非常有效的算法.近年來,隨著大數(shù)據(jù)和人工智能的興起,交替方向法在機器學習、交通問題、圖像處理、經(jīng)濟平衡問題、資源配置問題等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的應用,受到越來越多的學者的關(guān)注.交替方向法過去的發(fā)展主要集中在凸優(yōu)化問題,其算法設(shè)計、理論分析已經(jīng)很成熟.然而實際應用中產(chǎn)生的問題往往是非凸的.對于目標函數(shù)是非凸或者部分非凸的情況,目前一般采取凸松弛方式進行處理,直接從非凸問題角度進行研究還處于初期階段,只有非常少的研究成果.從本質(zhì)上講,非凸模型往往比凸模型更好地近似實際問題本身.因此,越來越多的學者開始關(guān)注非凸問題的交替方向法的收斂性及收斂速率.對于凸優(yōu)化問題中的ADMM算法,當目標函數(shù)為兩塊時,交替方向法是收斂的.然而,對于目標函數(shù)為多塊可分凸優(yōu)化問題,有反例可說明直接推廣到交替方向法是發(fā)散的,學者從兩個不同的側(cè)面對多塊問題進行了研究:一是給出多塊凸優(yōu)化問題直接推廣的ADMM算法收斂的充分條件,二是對算法進行”簡單”修正,在經(jīng)典算法的條件下保證其收斂性.最近,Sun,Toh,Yang在[36]中提出了一種變形的交替方向法去求解一類特殊的三塊可分凸優(yōu)化問題,證明該算法的收斂性.對非凸問題,Guo,Han,Wang,Wu在[17]中研究了多塊可分非凸優(yōu)化問題,在假設(shè)目標函數(shù)滿足Kurdyka-Lojasiewicz不等式的條件下,證明交替方向法的收斂性并分析了收斂速率。結(jié)合[36]及[17]的結(jié)果,本文針對含有二次項的三塊可分非凸優(yōu)化問題,進行算法設(shè)計和收斂性分析的研究.首先,提出類似[36]的半定臨近交替方向法.在假設(shè)目標函數(shù)滿足Kurdyka-Lojasiewicz不等式的條件下,證明該變形的交替方向法產(chǎn)生的迭代序列收斂到原問題的穩(wěn)定點.進一步地,證明在Kurdyka-Lojasiewicz不等式參數(shù)滿足一定條件下,分析了算法的線性收斂速率.
【學位授予單位】：南京師范大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O224

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本文編號：2775907