【摘要】：基于Galerkin框架和正交多項式的優(yōu)勢,譜與譜元方法被廣泛應(yīng)用于求解具有高正則性解的微分方程。然而在許多科學(xué)計算問題中,方程本身及其真解往往具有一定的奇性,從而限制了譜方法的實際應(yīng)用效果。為了恢復(fù)譜方法處理奇性問題的高效性,我們需要根據(jù)實際問題設(shè)計完全克服方程及其真解奇性的譜方法。本文針對反冪勢薛定諤方程和分?jǐn)?shù)階Laplace方程這兩類極具代表性的難點奇性問題,開展具有指數(shù)收斂階的高效譜與譜元方法研究,主要內(nèi)容包括:(1)提出任意維球體與任意多邊形區(qū)域上反冪勢薛定諤方程特征值問題的高效譜與譜元方法。對含反位勢的薛定諤特征值問題-△u+c2"#x"#-2u+γ"#x"#-1u=λu,我們首先在任意維球上構(gòu)造貼合特征函數(shù)奇性的Sobolev正交函數(shù)系,并設(shè)計新型譜方法的數(shù)值格式和算法。在此基礎(chǔ)上,我們提出了任意多邊形區(qū)域上該問題的譜元方法:以奇點為中心劃出一個適當(dāng)大小的圓盤,圓內(nèi)采用能貼合奇性的非多項式Sobolev基函數(shù)譜方法,圓外采用(曲邊)四邊形或者(曲邊)三角形網(wǎng)格與C0-協(xié)調(diào)譜元,圓盤內(nèi)外單元之間通過mortar元或其他非協(xié)調(diào)元方法進(jìn)行信息交換。針對含反立方勢的薛定諤特征值問題-△u+c32"#x"#-3u+c22"#x"#-2u+c12"#x"#-1u=λu,我們設(shè)計了類似于含反位勢的薛定諤特征值問題的新型高效譜方法。最后,本文將反冪勢方程譜方法運用到矩形區(qū)域上燃料電池數(shù)學(xué)模型特征值問題-(?)2/(?)x2u-1/x2(?)2/(?)y2=λu的數(shù)值求解中。以上問題的譜方法均取得了指數(shù)階的收斂速度。(2)提出任意維全空間上反冪勢薛定諤方程的新型譜方法。以逆平方勢薛定諤方程為例,從算法設(shè)計、數(shù)值實驗和理論分析上全面探討了全空間上反冪勢薛定諤方程特征值問題與具有rα型奇異解的薛定諤方程源問題的譜方法。為此,我們定義了關(guān)于Muntz級數(shù){αn}的Muntz-Hermite函數(shù)Lkαn(r2)e-r2/2αn+1-d/2Yn(?)(ξ),并針對特征值問題和源問題分別選擇合適的Muntz級數(shù)構(gòu)造基函數(shù),在此基礎(chǔ)上設(shè)計Galerkin譜逼近格式和算法。得到的離散代數(shù)系統(tǒng)的矩陣具有高度稀疏性,對源問題來說右端項積分還可以通過快速Fourier算法來計算。我們給出了特征值問題中數(shù)值特征值和特征函數(shù)的最優(yōu)誤差估計以及源問題中Galerkin譜方法的數(shù)值解逼近真解的收斂性分析,數(shù)值實驗結(jié)果驗證了理論分析的正確性。(3)提出并研究了任意維球上分?jǐn)?shù)階Laplace方程的高效譜方法。采用球調(diào)和函數(shù)和Jacobi多項式構(gòu)造球正交多項式/函數(shù)作為分?jǐn)?shù)階Laplace方程的高效基函數(shù),并在對稱變分形式的基礎(chǔ)上設(shè)計相應(yīng)的Galerkin譜方法逼近格式與求解算法。在數(shù)值分析方面,我們給出了分?jǐn)?shù)階Laplace方程特征值問題中數(shù)值特征值的上下確界估計、特征函數(shù)的誤差估計和代數(shù)特征系統(tǒng)矩陣條件數(shù)的緊致估計以及源問題中解的正則性分析。發(fā)展了球正交多項式逼近理論,并應(yīng)用該逼近理論證明了分?jǐn)?shù)階Laplace方程的收斂性分析。
【學(xué)位授予單位】：中國工程物理研究院
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O241.82
【圖文】：

３．１．３數(shù)值實驗結(jié)果逡逑這一部分我們給出利用上述小節(jié)提出的譜方法求解球上的特征值問題（３－３）逡逑的數(shù)值結(jié)果。圖３．１和圖３．２分別是二維和三維情況下參數(shù)0和７設(shè)置相同時前五個逡逑最小特征值的逼近誤差丨｜隨冗的變化情況，圖中曲線表明數(shù)值解呈指逡逑數(shù)階收斂。事實上，該方法最初是由文獻(xiàn)［６３］為求解逆平方勢薛定諤方程特征值逡逑問題而提出的。之所以同樣適用于含＃勢的逆平方勢薛定諤特征值問題，是因為逡逑和Ｌａｐｌａｃｅ算子有相同奇性階的逆平方勢比＾勢奇性強(qiáng)。逡逑圖３．１和圖３．２中，（ａ）圖和（ｃ）圖對應(yīng)相同的參數(shù)７不同的參數(shù)ｃ，（ｂ）圖和（ｄ）圖亦是，逡逑我們可以看到，數(shù)值特征值逼近參考特征值的收斂速率幾乎和問題（３－３）中的常系逡逑數(shù)ｃ無關(guān)。這是因為通過把Ｃ作為構(gòu)成基函數(shù)的一個關(guān)鍵參數(shù)，自然地把Ｌａｐｌａｃｅ算逡逑子和逆平方勢作為一個整體看待，這樣基函數(shù)隨ｃ的變化能很好地捕捉特征函數(shù)逡逑２２逡逑

（ｃ）邋ｃ邋＝邋１／２，７＝１．邐（ｄ）邋ｃ邋＝邋１／２，７邋＝邋１０．逡逑圖３．１ｄ邋＝邋２時，半對數(shù)坐標(biāo)下，前五個最小特征值的逼近誤差｜＼－入太，＾｜隨允的變化曲線．逡逑３．２球上反立方勢薛定諤方程特征值問題的譜方法逡逑３．２．１問題描述逡逑我們考慮定義在球上的超奇異勢薛定諤特征值問題：逡逑｛（ｐ１逡逑—＾邋ｕ邋＋邋－￣ｔ＾ｕ邋＋邋７＾７＾邋￣邋＾＾５邋ｉｎ邋ＩＢ＾，逡逑ｋｒ邋Ｆｌ２邋Ｍ邐（３－ｉ0）逡逑ｕ（ｘ）邋＝邋０，邐ｏｎ邋§＾＿１，逡逑其中，常數(shù)邋Ｑ２０，ｉ邋＝邋ｌ，２，ｃ３＞０．逡逑定義Ｓｏｂｏｌｅｖ空間如下：逡逑＾（Ｂ＾）邋＝邋＾（Ｂ＾）邋ｎ邋Ｌ２ｒｓ｛Ｂｄ），邋Ｗ＾ｃｆｉ（Ｍｄ）邋＝邋｛ｕｅ邋Ｗｌｃ｛Ｍｄ）邋：ｕ邋＝邋０ｏｎ邋Ｓ＾１｝，逡逑其范數(shù)定義為逡逑

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本文編號：2729296