【摘要】：設μ為Rd上具有緊支撐的Borel概率測度,我們很自然要問這樣一個問題:是否存在Rd上一個可數(shù)子集Λ使得指數(shù)函數(shù)族E:={e2πiλ,x:λ ∈ 為L2(μ)的框架/Riesz基/標準正交基?如果存在,則稱μ為框架譜測度/Riesz譜測度/正交譜測度,Λ為μ的框架譜/Riesz譜/正交譜.框架理論與Fourier分析、小波分析、調和與非調和分析以及壓縮感知等都有重要聯(lián)系.從1967年以來,人們一直在研究Lebesgue限制在怎樣的集合上為一個框架譜/Riesz譜/正交譜,其中最為主要的猜想為1976年Fuglede提出的譜集猜想.而Beurling密度從一開始就起到了關鍵的作用.由整擴張矩陣A ∈Md(Z)、有限整數(shù)集D={d0= 0,d1,…,dq-1}(?)Zd以及概率向量族{Pk={pk,0,pk,1,...,pk,q-1}}k=1∞生成的概率測度μ A,D1,{Pk},=δA-1D,P1*δA-2D,P2*δA-3D,P3...稱為Riesz乘積測度(測度無窮卷積收斂是指測度的弱收斂),很顯然自相似測度和自仿測度都是Riesz乘積測度.本文主要研究此種Riesz乘積測度的譜性,以及自相似測度譜的Beurling維數(shù).本文主要分為五章。第一章,主要介紹研究背景和研究動機.由于Riesz乘積測度存在性與測度的弱收斂有關,所以第二章主要介紹測度序列收斂性的一些基礎知識.第三章主要介紹一些與后續(xù)章節(jié)相關的預備知識.第四章,我們主要研究一般的Riesz乘積測度μA,D,{Pk}與自仿測度μA,D之間的譜性關系.關于Riesz乘積測度μA,D,{Pk}的譜性至今沒有人研究過.我們主要有這樣的結果:在條件inPk0下,測度μA,D,{Pk}為框架/Riesz譜測度當且僅當μA,D為框架/Riesz譜測度且{Pk}滿足等價乘積條件.在特殊情況下,前提假設條件inf k≥1 Pk-0可以去掉.第五章,我們主要研究自相似測度框架譜、Bessel譜(即所對應的指數(shù)函數(shù)族為L2(μ)的Bessel序列)的Beurling維數(shù).關于Bessel譜A給出其Beurling維數(shù)的上界.對于一些滿足特定條件的框架譜A給出其Beurling維數(shù)與自相似集(自相似測度的支撐)的Hausdorff維數(shù)相等的充要條件.
【學位授予單位】：華中師范大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2018
【分類號】：O174.12

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本文編號：2673938