發(fā)布時(shí)間：2020-05-20 05:37

【摘要】：傳統(tǒng)的微積分理論及微積分模型是我們進(jìn)行理論研究、描述自然現(xiàn)象、指導(dǎo)工業(yè)應(yīng)用最常用的數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)模型。我們利用這些模型及其相關(guān)的求解方法更好地認(rèn)識(shí)了世界、促進(jìn)了生產(chǎn)、便利了生活。近年來(lái),一系列研究發(fā)現(xiàn),經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型與理論框架在很多問(wèn)題及現(xiàn)象上并不能給出準(zhǔn)確的描述,而這些現(xiàn)象在自然界中隨處可見(jiàn),如反常超擴(kuò)散、斷裂問(wèn)題、記憶與遺傳、有關(guān)隨機(jī)跳躍的非局部擴(kuò)散等等。因此,這就需要突破傳統(tǒng)模式的局限來(lái)發(fā)展新的數(shù)學(xué)理論及相關(guān)模型。隨著非局部微積分算子及分?jǐn)?shù)階微積分的快速發(fā)展,非局部問(wèn)題的理論研究及應(yīng)用得到廣泛關(guān)注。而這些非局部模型的產(chǎn)生能夠比較好的模擬這些非局部效應(yīng)。更重要的是,局部模型可以在形式上作為非局部模型的特殊情況推導(dǎo)得出,因此,非局部模型可看作為局部模型的一種推廣。非局部模型包含的非局部項(xiàng)一般由非局部向量微積分算子、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、分?jǐn)?shù)階積分等組成。雖然非局部模型的發(fā)展已經(jīng)比較久遠(yuǎn),但是非局部向量微積分是近幾年才提出的。杜強(qiáng)教授等人[1]在2013年研究帶約束的非局部擴(kuò)散模型時(shí)提出了一系列的非局部向量微積分算子,包含非局部散度算子、非局部梯度算子、非局部旋度算子及其伴隨算子等。而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與分?jǐn)?shù)階積分的產(chǎn)生和發(fā)展卻經(jīng)歷了很長(zhǎng)一段時(shí)間的摸索期。其實(shí),分?jǐn)?shù)階微積分的萌芽與經(jīng)典的微積分的出現(xiàn)幾乎處于同一時(shí)期。但直到數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了伽馬函數(shù),其面紗才被慢慢揭開(kāi)。這期間,數(shù)學(xué)家Laplace、Riemann、Liouville、Letnikov、Rietz等人均做出 了重要貢獻(xiàn)。目前,比較常用的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義有如下幾種:Caputo導(dǎo)數(shù)、Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)、Grunwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)、Caputo-Fabrizio導(dǎo)數(shù)等等。目前,比較常見(jiàn)的非局部模型有非局部擴(kuò)散模型、近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型、時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散模型、空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散模型、非局部及分?jǐn)?shù)階相場(chǎng)模型等等。如今,非局部理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用于連續(xù)力學(xué)、斷裂力學(xué)、量子力學(xué)、物理學(xué)、材料學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、圖像處理等許多方面。然而,由于非局部項(xiàng)的影響,導(dǎo)致我們?cè)趯?duì)非局部模型進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí),產(chǎn)生的線(xiàn)性系統(tǒng)往往帶有矩陣稠密的特點(diǎn)。例如,我們?cè)谑褂糜邢拊椒▽?duì)近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行離散時(shí),當(dāng)近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)非局部影響域常數(shù)δ遠(yuǎn)大于剖分細(xì)度h時(shí),得到的線(xiàn)性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣將會(huì)是一個(gè)幾乎稠密的矩陣,這就導(dǎo)致我們?cè)谇蠼饩仃嚪匠虝r(shí)需要耗費(fèi)巨大的計(jì)算量及存儲(chǔ)量。分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行數(shù)值離散時(shí)得到的線(xiàn)性系統(tǒng)也往往具有計(jì)算量及存儲(chǔ)量的巨大需求的情況。這就要求我們提出快速求解機(jī)制,以應(yīng)對(duì)在計(jì)算機(jī)內(nèi)存及計(jì)算速度一定的條件下,更快更大規(guī)模地求解線(xiàn)性系統(tǒng),以及時(shí)且準(zhǔn)確地指導(dǎo)工業(yè)生產(chǎn)。計(jì)算速度方面存在的諸多挑戰(zhàn)使得人們不得不考慮快速的求解機(jī)制。本文所研究的內(nèi)容,就將著眼于這方面,致力于尋求合適的數(shù)值模擬方法,快速有效地求解數(shù)值格式產(chǎn)生的線(xiàn)性系統(tǒng)。我們所研究的方程主要為穩(wěn)態(tài)的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型、時(shí)間分?jǐn)?shù)階相關(guān)模型、分?jǐn)?shù)階相場(chǎng)模型,所采用的數(shù)值離散方法主要為有限元方法、有限差分方法。針對(duì)快速計(jì)算,所采用的方法主要基于快速傅里葉變換方法以降低計(jì)算量來(lái)快速求解矩陣向量乘。具體地:第一章,我們簡(jiǎn)要介紹非局部向量微積分、時(shí)間分?jǐn)?shù)階相關(guān)模型、相場(chǎng)模型的定義、背景及發(fā)展,以方便后面具體模型的研究。第二章,我們主要考慮穩(wěn)態(tài)的一維近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值模擬及快速求解。近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型是由美國(guó)Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室Silling教授在2000年提出的用于研究不連續(xù)長(zhǎng)程力時(shí)提出的非局部模型[4]。目前,近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型被成功應(yīng)用于不同材料和結(jié)構(gòu)靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)模擬及斷裂、破壞及失效分析�？紤]近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)影響域常數(shù)δ帶來(lái)的非局部特性,使得數(shù)值算法帶來(lái)的巨大的計(jì)算量及存儲(chǔ)量成為近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型數(shù)值算法的瓶頸。因此,我們提出了快速Galerkin及hp-Galerkin有限元方法以快速求解這一模型。首先,針對(duì)連續(xù)的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型,我們使用一種快速的計(jì)算機(jī)制去計(jì)算Lagrange元分別為分片一次元、分片二次元、分片三次元的Galerkin方法產(chǎn)生的線(xiàn)性系統(tǒng)。這種快速計(jì)算的機(jī)制是基于快速傅里葉變換方法降低矩陣向量乘的計(jì)算量。通過(guò)計(jì)算量及存儲(chǔ)量分析,快速算法將使得求解矩陣方程由所需的O(N3)的計(jì)算量降為O(Nlog2N),同時(shí),將存儲(chǔ)量由O(N2)降為O(N),其中N為空間剖分份數(shù)。其次,考慮到近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型以積分代替微分,因此允許模型的解存在間斷點(diǎn),這樣模型便可以用來(lái)處理斷裂問(wèn)題。因此,針對(duì)含有間斷點(diǎn)的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型,我們首先給出快速的分片常數(shù)有限元方法,在此基礎(chǔ)上,我們使用h-及p-加密算法,我們提出了快速分片常數(shù)/分片一次Galerkin及分片常數(shù)/分片二次Galerkin方法。最后,我們給出數(shù)值算例驗(yàn)證我們快速算法的正確性及有效性。第三章,我們考慮帶有Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階常微及偏微分方程的數(shù)值離散格式及其導(dǎo)出的線(xiàn)性系統(tǒng)的快速算法。空間分?jǐn)?shù)階模型的快速算法一般利用系數(shù)矩陣的Toeplitz性質(zhì),使用快速傅里葉變換方法降低計(jì)算量及存儲(chǔ)量。而時(shí)間分?jǐn)?shù)階方程導(dǎo)出的線(xiàn)性系統(tǒng)使用快速算法的難點(diǎn)在于,其系數(shù)矩陣雖為稀疏矩陣,但在求解過(guò)程中,求解新的時(shí)間層均需要所有舊層的值,這使得其整體的計(jì)算量及存儲(chǔ)量同樣花費(fèi)巨大。更重要的是,由于系數(shù)矩陣并無(wú)Toeplitz性質(zhì),直接使用快速傅里葉變換的方法失效。因此,時(shí)間分?jǐn)?shù)階方程的快速算法實(shí)現(xiàn)發(fā)展并沒(méi)有空間分?jǐn)?shù)階方程的快速算法那樣完善。我們考慮不同的機(jī)制以求獲取快速求解方法。首先,考慮一系列的有限差分方法求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階方程初邊值問(wèn)題。由此導(dǎo)出的線(xiàn)性系統(tǒng)我們考慮相應(yīng)的快速算法。這種快速算法是基于快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn)。針對(duì)分?jǐn)?shù)階雙邊常微分方程的快速實(shí)現(xiàn),快速算法使得求解的計(jì)算量由所需的O(N3)降為O(NMog2N),存儲(chǔ)量由O(N2)降為O(N),這里N為剖分份數(shù)。針對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流方程的快速差分方法,計(jì)算求解線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí),我們改變時(shí)空求解順序,不按時(shí)間層求解,而用空間點(diǎn)順序求解,這樣的求解方式將稀疏的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)變?yōu)門(mén)oeplitz滿(mǎn)矩陣,而不用按照時(shí)間層存儲(chǔ)。將計(jì)算量將O(N2M)降為O(MNlog2N),存儲(chǔ)量由O(NM)降為O(N),這里N=τ-1,τ為時(shí)間剖分長(zhǎng)度,M=h-1,h為空間剖分細(xì)度。針對(duì)經(jīng)典的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散模型,考慮使用經(jīng)典的L1離散有限差分格式及初值不光滑時(shí)的有限元格式,我們考慮所有時(shí)間層的一次性求解,并且改變近似解求解順序,將快速傅里葉變換成功應(yīng)用于矩陣向量乘,將所需計(jì)算量由之前的O(MN2)降為O(MNMog2N),而沒(méi)有改變存儲(chǔ)量。除此之外,我們考慮時(shí)間分?jǐn)?shù)階Cable方程的有限差分緊格式,給出格式的穩(wěn)定性及收斂性分析,并針對(duì)格式導(dǎo)出的線(xiàn)性系統(tǒng),構(gòu)造并實(shí)現(xiàn)了快速算法。我們最后給出足夠的算例證明理論分析的正確性。第四章,我們考慮非局部相場(chǎng)模型的無(wú)條件能量穩(wěn)定性格式,并考慮快速算法實(shí)現(xiàn)。相場(chǎng)模型最初是為了繞開(kāi)凝固組織模擬中追蹤液固界面的困難提出的,目前在數(shù)學(xué)、力學(xué)、材料學(xué)等領(lǐng)域均有快速發(fā)展,已經(jīng)成功應(yīng)用于處理多種情境下的不可壓縮兩相流等問(wèn)題。最近,非局部相場(chǎng)模型如帶空間非局部算子的Cahn-Hilliard模型[84]、空間分?jǐn)?shù)階Cahn-Hilliard模型[85]、時(shí)空分?jǐn)?shù)階Allen-Cahn模型[86]、時(shí)間分?jǐn)?shù)階Cahn-Hilliard模型[87,88]等等已經(jīng)吸引了越來(lái)越多人的興趣,并且已經(jīng)應(yīng)用到設(shè)計(jì)物理學(xué)、材料學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、圖像處理等很多方面。本章主要考慮帶有一般非線(xiàn)性項(xiàng)的非局部Cahn-Hilliard方程的精確、有效的線(xiàn)性算法的構(gòu)造,并嚴(yán)格地證明其半離散格式的無(wú)條件能量穩(wěn)定性。我們構(gòu)造和分析了線(xiàn)性的一階、二階(在時(shí)間方向上)標(biāo)量輔助變量(scalar auxiliary variable:SAV)方法,建立了無(wú)條件的能量穩(wěn)定格式。此外,考慮到求解非局部模型產(chǎn)生的線(xiàn)性系統(tǒng)的巨大計(jì)算工作和內(nèi)存需求,我們分析了剛度矩陣的結(jié)構(gòu),并尋求一些有效的快速計(jì)算方法來(lái)減少計(jì)算工作量和內(nèi)存需求。通過(guò)引入四個(gè)轉(zhuǎn)換算子A1,A2,A3,A4,我們可將線(xiàn)性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換為block-Toeplitz-Toeplitz-block(BTTB)矩陣。于是,一個(gè)基于快速傅里葉變換的機(jī)制便可以快速求解帶有BTTB型系數(shù)矩陣的新的線(xiàn)性系統(tǒng)。線(xiàn)性系統(tǒng)的整體計(jì)算量的花費(fèi)將會(huì)是O(Nlog2N),其中N為未知量的數(shù)量。而直接使用高斯消去法求解線(xiàn)性系統(tǒng)的計(jì)算量將會(huì)是O(N3)。除此之外,由于N × N BTTB矩陣的存儲(chǔ)只需花費(fèi)O(N),而不做變換之前,存儲(chǔ)系數(shù)矩陣需要花費(fèi)的存儲(chǔ)量將會(huì)是O(N2)。最后,我們針對(duì)各種二維模型進(jìn)行了數(shù)值模擬的驗(yàn)證,證明了所提出格式的準(zhǔn)確性和有效性。第五章,我們考慮時(shí)間分?jǐn)?shù)階相場(chǎng)模型的無(wú)條件能量穩(wěn)定性格式。我們主要研究?jī)深?lèi)經(jīng)典的相場(chǎng)模型添加Caputo時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),即時(shí)間分?jǐn)?shù)階Cahn-Hilliard與時(shí)間分?jǐn)?shù)階Allen-Cahn模型。針對(duì)帶有非線(xiàn)性項(xiàng)及分?jǐn)?shù)階時(shí)間項(xiàng)的這兩類(lèi)模型,我們主要考慮正確有效的線(xiàn)性算法,并嚴(yán)格證明模型的能量穩(wěn)定性及半離散數(shù)值格式的能量穩(wěn)定性。我們考慮相場(chǎng)模型的數(shù)值格式時(shí),最重要的一點(diǎn)就是要保持格式的能量穩(wěn)定,使得能量穩(wěn)定性與時(shí)間空間離散時(shí)網(wǎng)格剖分的粗細(xì)無(wú)關(guān)。優(yōu)先考慮能量穩(wěn)定的特性的原因不僅僅是因?yàn)楦袷叫枰陂L(zhǎng)時(shí)間模擬求解時(shí)仍保持正確性,還使其能應(yīng)用于更加復(fù)雜的特殊問(wèn)題。而且,如果格式不滿(mǎn)足能量耗散屬性,可能使得在網(wǎng)格或者時(shí)間步不嚴(yán)格控制的情況下,導(dǎo)致錯(cuò)誤的離散估計(jì)。然而,考慮到兩相之間的邊界很薄,針對(duì)帶有非線(xiàn)性項(xiàng)的相場(chǎng)模型如Cahn-Hilliard及Allen-Cahn模型,要得到保持能量穩(wěn)定的離散格式往往比較困難。需要特別指出的是,針對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階Cahn-Hilliard及時(shí)間分?jǐn)?shù)階Allen-Cahn模型,無(wú)論其模型的能量穩(wěn)定性還是相關(guān)數(shù)值格式的能量穩(wěn)定性,目前均少有文章給予證明。這其中主要的困難在于,由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的存在,會(huì)出現(xiàn)一系列的與時(shí)間有關(guān)的干擾項(xiàng)。通過(guò)考慮模型的等價(jià)形式以及重新考慮時(shí)間分?jǐn)?shù)階離散的數(shù)值微分格式的系數(shù)的特性,我們成功證明了這兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階模型及其離散格式的無(wú)條件能量穩(wěn)定性。處理非線(xiàn)性項(xiàng)的穩(wěn)定子方法及最近新發(fā)展的SAV方法被成功應(yīng)用到我們的無(wú)條件穩(wěn)定格式中。最后,我們考慮二維及三維數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證我們格式的正確性及有效性。
【圖文】：

＋７７－＾—邋Ｕｘ邋－邋ｘ）２＿ｓ邋—邋２ｘ２￣ｓ邋－邋（１邋－邋＾）２＿ｓ）邋，，邋Ｘ邋Ｅ邋｛ｘ，邋１）．逡逑我們使用一致的剖分網(wǎng)格，且采用／ｉ＝邋１／３０來(lái)檢測(cè)分片線(xiàn)性有限元離散。從逡逑圖２．１及表２．１可以看出，若５為剖分節(jié)點(diǎn)之一，則相應(yīng)的誤差與光滑解一致。而逡逑如果Ｊ坐落于區(qū)間內(nèi)，其誤差階將不再保持，可見(jiàn)圖２．２及表２．２。間斷點(diǎn)與剖分的逡逑相應(yīng)關(guān)系，會(huì)嚴(yán)重影響有限元離散的收斂行為。而我們針對(duì)真解間斷點(diǎn)與右端逡逑項(xiàng)６（０；）的間斷點(diǎn)的分析，可知，我們將間斷點(diǎn)坐落于６0ｒ）的間斷點(diǎn)，即可保證真逡逑解的間斷點(diǎn)保持在剖分節(jié)點(diǎn)處，從而保證有限元離散的收斂階。逡逑Ｈ６邐＾………ｒ邋邐邋１邐！￣－Ｉ邐邋�。檫娺娺�，邐：逡逑、邐一如sEＳｏｔｏ邐／邋－

本文編號(hào)：2672150