【摘要】：本文主要構(gòu)造了一種求解無界區(qū)域上時間分數(shù)階薛定諤方程的快速精確的數(shù)值格式.主要思想包含兩部分,第一部分是通過人工邊界方法把無界區(qū)域上的問題等價地轉(zhuǎn)化為有界區(qū)域上的初邊值問題;第二部分是構(gòu)造精確有效的數(shù)值格式求解該初邊值問題.本文構(gòu)造了直接格式和快速格式這兩種離散格式,其差別在于直接格式采用L1逼近算法近似Caputo時間分數(shù)階導(dǎo)數(shù)而快速格式是采用L1逼近快速算法近似Caputo時間分數(shù)階導(dǎo)數(shù).不同于L1逼近算法,L1逼近快速算法是通過采用指數(shù)函數(shù)和逼近核函數(shù)的方法來加速Caputo導(dǎo)數(shù)的近似,這能夠有效降低所需的存儲量和計算量,并且同時使得它們具有幾乎相同的精度.此外,我們分析了這兩種格式的穩(wěn)定性,并給出了相應(yīng)的誤差估計.最后,我們通過設(shè)計數(shù)值算例從不同方面證實了兩種格式的精確性和有效性,并體現(xiàn)了快速格式相比直接格式具有高效性.
【圖文】：

格式所用ＣＰＵ時間差不多是快速格式的２０倍．故而快速算法能加快Ｃａｐｕｔｏ分數(shù)階導(dǎo)數(shù)逡逑的估計，而且快速算法和直接算法幾乎有相同的精度．逡逑為了進一步說明兩種格式的計算復(fù)雜性，圖３．１描述了兩種格式所用ＣＰＵ時間和總逡逑時間步數(shù)ｉＶ的ｌｏｇ－ｌｏｇ關(guān)系？可以觀察到，直接格式的ＣＰＵ時間是０（ｉＶ２）量級，而快速格逡逑式的ＣＰＵ時間和ｉＶ幾乎是線性關(guān)系．因此，快速格式相比于直接格式更有效．由于兩種逡逑格式精度差不多而快速格式所用ＣＰＵ時伺更少，后面的算例中我們將只用快速格式來逡逑測試人工邊界方法的有效性．逡逑注釋３．３．１．逡逑在比較中，我們的程序是在；８ＣＷ，５．悹Ｇ丑？，內(nèi)存，％位操作系統(tǒng)的ＤｅＺ〖電腦上實現(xiàn)逡逑的．逡逑

從而構(gòu)造所考慮的計算區(qū)域的一個“精確解選取大的計算區(qū)域為［－３，邋３］，所逡逑用網(wǎng)格尺寸為Ａｔ邋＝邐／Ｉ邋＝邐在數(shù)值模擬中，，我們?nèi)。板澹藉澹埃埃矗妫沐澹藉澹保埃咤义蠄D３．２描繪了ａ邋＝邋０．５，０．８，０．９，０．９９時分散的高斯波包隨時間的演化．圖３．３描繪了不逡逑同的ｃｔ在ｔ邋＝邋５時解的圖像．從圖３．２和圖３．３中可以看出，ａ越小高斯波包傳播越慢；當ａ逡逑趨近于１，在ｔ邋＝邋０．４時幾乎傳出了計算區(qū)域卜２，２］．為了進一步研究人工邊界條件的精逡逑確性，對于不同的ａ我們比較了在ｉ邋＝邋１時的數(shù)值解和“精確解”．從圖３．４中可以看出數(shù)逡逑值解和“精確解”幾乎一致，這表明我們設(shè)計的人工邊界條件能夠有效地吸收波而不反逡逑射任何明顯的波．逡逑ａ＝０．５邐ａ＝０．８逡逑Ｊ１．．邋Ｕ逡逑Ｕ邋Ｊ邐０．１邋0邋－２邋Ｘ邐Ｕ邋Ｊ邋０－２＾邋０１邋0邋－２邋Ｘ逡逑ａ＝０．９邐ａ＝０．９９逡逑ｉ．．邐…逡逑０３邐０＾邐０．１邋0邋－２邋Ｘ邐０４邐０３邋0．２ｆ邋ａｉ邋0邋－２邋Ｘ逡逑圖３．２：（例２）不同ａ，卜｜隨時間ｔ的演化圖？網(wǎng)格尺寸：／ｉ邋＝邋１／５００，邋Ａｔ邋＝邋ｌ／５0０．逡逑例３．進一步考慮例２，在其基礎(chǔ)上加上一個外部勢函數(shù)＝ｅ－４ａ；２，再進行數(shù)值逡逑實驗．取初值為邐２邐２逡逑ｉｐ（ｘ）邋＝邋￣＾＝邋ｅｌｋｘ￣ｈ邋－ｆ邋ｅ－ｌｋｘ￣ｆｅ邋；逡逑ＶＰ邋Ｌ邐」逡逑其中０邋＝邋０．０４，邋／ｃ邋＝邋１０．逡逑“精確解”可以由快速格式（３．２．３７）－（３．２．４０）在大的計算區(qū)域內(nèi)用精細網(wǎng)格所得的數(shù)逡逑值解代替（大的計算區(qū)域取為［－３
【學(xué)位授予單位】：中國工程物理研究院
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O241.82

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本文編號：2654840