【摘要】：本文研究了幾類動(dòng)理學(xué)方程的適定性及漸近行為.主要分為兩方面,一方面考慮天體動(dòng)力學(xué)和等離子體理論中三類無碰撞輸運(yùn)方程一 Vlasov型方程((Relativistic)Vlasov-Maxwell 系統(tǒng),Vlasov-Poisson 系統(tǒng),帶點(diǎn)電荷的 Vlasov-Poisson 系統(tǒng))的適定性及漸近行為,另一方面考慮了關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)集群性模型中的一類Vlasov型方程,即Cucker-Smale-Fokker-Planck系統(tǒng)的適定性及漸近行為.第一章,主要介紹了上述四類系統(tǒng)的物理背景、研究方法及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀,并從中提煉出本文研究的主要問題,進(jìn)而給出本文的主要結(jié)果.第二章,我們研究帶N個(gè)點(diǎn)電荷的Vlasov-Poisson系統(tǒng).通過構(gòu)造一類新的微觀能量泛函和宏觀能量泛函,借助于經(jīng)典的Lagrange方法,我們證明了該系統(tǒng)Cauchy問題無限能量經(jīng)典解的整體存在唯一性,并得到了速度—空間支柱的次線性估計(jì)(詳見定理2.1.1和定理2.1.2).基于第二章的結(jié)果,在第三章中,我們研究帶單個(gè)點(diǎn)電荷的Vlasov-Poisson系統(tǒng).采用經(jīng)典的Euler方法,我們證明了該系統(tǒng)Cauchy問題無限能量弱解的整體存在性以及高階速度—空間矩的傳播性(詳見定理3.1.1).第四章,我們研究三維(Relativistic)Vlasov-Maxwell系統(tǒng)的極限問題.通過對(duì)該系統(tǒng)Cauchy問題所定義的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行精細(xì)的估計(jì),我們證明了當(dāng)光速c → ∞時(shí),該問題的小振幅整體經(jīng)典解以c-1的速度收斂到相同初始條件下Vlasov-Poisson系統(tǒng)的整體經(jīng)典解(詳見定理4.1.1和定理4.1.2).第五章,我們研究d維Cucker-Smale-Fokker-Planck系統(tǒng).假設(shè)個(gè)體之間的交流頻率ψ(x)關(guān)于空間變量x在零點(diǎn)附近有強(qiáng)奇性時(shí),即ψ(x)=O(1/|x|υ),其中υ滿足當(dāng)d = 1時(shí)0υ1,當(dāng)d ≥ 2時(shí)0υ2,我們證明了該系統(tǒng)Cauchy問題有限能量弱解的局部存在性(詳見定理5.1.1).此外,我們還考慮了該系統(tǒng)高階矩的傳播性:假設(shè)υ滿足0υd,并且初始值有d階及以上速度矩,那么該系統(tǒng)存在局部弱解并且d階及以上速度矩有傳播性(詳見定理5.1.2).最后,我們討論了一些與上述系統(tǒng)有關(guān)并且值得進(jìn)一步研究的問題.
【學(xué)位授予單位】：華中科技大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號(hào)】：O175

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