【摘要】：1906年,Birkhoff提出了一類更廣泛的多項(xiàng)式插值問(wèn)題,其典型特征是某些插值結(jié)點(diǎn)上的微商條件是不連續(xù)的.正是這種不連續(xù)性使之變的更加復(fù)雜,該問(wèn)題被稱為Birkhoff插值Birkhoff插值有著廣泛的應(yīng)用背景,例如微分方程邊值問(wèn)題的求解,有限元的構(gòu)造等等,此外它也是解決應(yīng)用密碼學(xué)的分級(jí)(圖像)秘密共享問(wèn)題的重要工具之一.與人們熟知的Lagrange和Hermite插值相比,Birkhoff插值理論遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到完善的地步,事實(shí)上,一元Birkhoff插值問(wèn)題尚有許多問(wèn)題未能解決,人們對(duì)于多元Birkhoff插值就知之更少了.雖然國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)該問(wèn)題開(kāi)展了較廣泛的研究,但基本上是針對(duì)特殊的插值問(wèn)題,例如結(jié)點(diǎn)的特殊分布,或者結(jié)點(diǎn)上的微商插值條件一致等這類問(wèn)題.Lorentz在1992年提出的多元Birkhoff插值格式,其中定義插值條件的微分算子是單項(xiàng)微分算子.本文中將研究的問(wèn)題拓展為具有多項(xiàng)式微分插值條件的多元Birkhoff插值,并分別從以下三個(gè)方面展開(kāi)了討論：1)給定插值空間和插值條件,判定插值格式的正則性；2)給定插值結(jié)點(diǎn)和插值條件,求適定的插值基；3)給定插值結(jié)點(diǎn)和插值條件,求結(jié)點(diǎn)在給定誤差范圍內(nèi)攝動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定單項(xiàng)基.具體工作如下：在第二章中,提出了更一般的n元Birkhoff插值格式,與1992年Lorentz提出的多元Birkhoff插值格式相比,插值條件由單項(xiàng)式微分條件推廣為多項(xiàng)式微分條件,從而使得研究的問(wèn)題更廣泛.給定插值格式,判定其正則性一直以來(lái)是研究者們關(guān)注的問(wèn)題.本章中給出了如何僅從定義插值條件的關(guān)聯(lián)矩陣中獲取插值格式正則性信息的兩個(gè)結(jié)論：插值格式幾乎正則的一個(gè)必要條件和正則的一個(gè)充分條件.定義1. n元Birkhoff插值格式(Z,E,PS)包含三個(gè)部分：(1)一組結(jié)點(diǎn)集Z,(2)插值空間Ps,其中S=[t1,…,tl]是一個(gè)按分次字典序排列的單項(xiàng)序列,k≤l.(3)包含m個(gè)子矩陣的關(guān)聯(lián)矩陣E,其中不含零行,問(wèn)題1.對(duì)任意給定的型值cij∈R,與插值格式(Z, E, PS)對(duì)應(yīng)的插值問(wèn)題為求多項(xiàng)式F∈PS滿足插值條件D=[D1,…,Dl]為單項(xiàng)序列s對(duì)應(yīng)的微分算子序列,中的每一行對(duì)應(yīng)著結(jié)點(diǎn)zi上的一個(gè)插值條件,Lji為最中第j行所對(duì)應(yīng)的插值條件泛函.令|E|表示矩陣E的行數(shù),也即插值條件個(gè)數(shù).若插值條件個(gè)數(shù)|E|等于插值空間的維數(shù)dim PS,則稱插值問(wèn)題1是規(guī)范的.本文中考慮的都是規(guī)范的插值問(wèn)題.對(duì)任意給定的型值,問(wèn)題1是否有唯一解依賴于結(jié)點(diǎn)集的分布.若對(duì)任意分布的結(jié)點(diǎn)集,問(wèn)題1都有唯一解,則稱插值格式(Z, E, PS)是正則的;若對(duì)幾乎所有的結(jié)點(diǎn)集分布Rmn中的Lebesgue測(cè)度下),問(wèn)題1都有唯一解,則稱插值格式(Z, E, PS)是幾乎正則的：若對(duì)任意分布的結(jié)點(diǎn)集,問(wèn)題1都不存在唯一解,則稱插值格式(Z,E,PS)是奇異的.對(duì)給定的插值格式,如何僅從關(guān)聯(lián)矩陣的自身性質(zhì)出發(fā)獲取插值格式正則性的信息,是本章主要探討的問(wèn)題,主要得到了以下兩個(gè)結(jié)果：定理1.令S=[t1,…,tl]為按分次字典序排列的單項(xiàng)序列,E為定義插值條件的關(guān)聯(lián)矩陣.若插值格式(Z,E,PS)是幾乎正則的,則E滿足廣義的Polya條件.定理2.若關(guān)聯(lián)矩陣E能通過(guò)特定初等行變換約化為一個(gè)上三角矩陣E,且E的對(duì)角元為非零常數(shù),則插值格式(Z,E,PS)是正則的.在第三章中,我們分別討論了一般性Birkhoff插值和兩類特殊的Birkhoff插值的適定性問(wèn)題.問(wèn)題2.令S=[t1,…,tl]是一個(gè)按分次字典序排列的單項(xiàng)序列,D=[D1,…,Dl]為與之對(duì)應(yīng)的微分算子序列,是給定的插值結(jié)點(diǎn)集,為關(guān)聯(lián)矩陣,其中且不含零行,中第j行所對(duì)應(yīng)的插值條件泛函記為L(zhǎng)jiBirkhoff插值問(wèn)題可以描述為求一組插值基,使得對(duì)任給的型值在這組基張成的插值空間(?)中都存在唯一的多項(xiàng)式f滿足插值條件滿足上述性質(zhì)的插值基稱為適定的插值基,相應(yīng)地,插值空間(?)稱為適定的插值空間.由于插值條件可由關(guān)聯(lián)矩陣E和單項(xiàng)序列S唯一確定,因此本章所討論的Birkhoff插值問(wèn)題可簡(jiǎn)記為(Z,E,S).由關(guān)聯(lián)矩陣E和單項(xiàng)序列S所確定的插值條件泛函Lji,(j=1,…,ji,i=1,…,m),并不總是線性無(wú)關(guān)的,因此在本章中首先討論了給定關(guān)聯(lián)矩陣時(shí),插值問(wèn)題2有解的充要條件,并在有解時(shí),給出了計(jì)算其分次序下極小插值單項(xiàng)基的BMMB算法.隨后定義了一個(gè)單項(xiàng)序列S的正則子鏈,并證明了當(dāng)關(guān)聯(lián)矩陣具有某些好的性質(zhì)時(shí),其適定的插值基可以由關(guān)聯(lián)矩陣和單項(xiàng)序列S直接確定.定理3.給定插值問(wèn)題(Z,E,S),其中S=[t1,…,tl]為按分次字典序(?)排列的單項(xiàng)序列.結(jié)點(diǎn)集關(guān)聯(lián)矩陣每個(gè)子矩陣Ei為一個(gè)非零行向量,即中的非零元素對(duì)應(yīng)著序列S的一個(gè)單項(xiàng)子序列,記為Si,t=1,…,m.若下述條件成立,(1)關(guān)聯(lián)矩陣E的每一列中至多有一個(gè)非零元素;(2)[S1,S1,…,.Sm]為單項(xiàng)序列S的正則鏈,則多項(xiàng)式集恰為適定的插值基.本章的最后,討論了一類特殊的Birkhoff插值問(wèn)題,其中每個(gè)結(jié)點(diǎn)上的插值條件都相同,為一多項(xiàng)式微分算子D,稱這樣的插值為一致Birkhoff插值,簡(jiǎn)記為(Z,D).對(duì)給定的一致Birkhoff問(wèn)題(Z,D),給出了插值空間適定的充要條件：定理4.給定一致插值問(wèn)題(Z,D),子空間為(?)的一致微分子空間,其中g(shù)i=D(fi)則(?)為適定的插值空間當(dāng)且僅當(dāng)g1,g2,…,gm線性無(wú)關(guān),且插值節(jié)點(diǎn)不同時(shí)落在空間(?)中的任何一個(gè)代數(shù)流形上.在第四章中,考慮結(jié)點(diǎn)的攝動(dòng),提出了多元Birkhoff插值問(wèn)題穩(wěn)定單項(xiàng)基的概念并給出了相應(yīng)的算法.在現(xiàn)實(shí)生活中,通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的數(shù)據(jù)是不精確的,通過(guò)精確算法求得的單項(xiàng)基,在結(jié)點(diǎn)發(fā)生微小的攝動(dòng)時(shí),會(huì)使得插值問(wèn)題不存在唯一解,即這組基對(duì)攝動(dòng)后的插值問(wèn)題不再是適定的.因此,求一組單項(xiàng)基,使得當(dāng)插值結(jié)點(diǎn)在一定誤差范圍內(nèi)攝動(dòng)時(shí),插值基依然保持適定是十分必要的.這樣的單項(xiàng)基稱之為穩(wěn)定的單項(xiàng)基.2008年,Abbot等人提出了SOI算法計(jì)算消逝理想的穩(wěn)定的邊界基.本章中,基于SOI算法,提出了計(jì)算Birkhoff插值穩(wěn)定單項(xiàng)基的算法.
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【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2015
【分類號(hào)】：O241.3

【參考文獻(xiàn)】

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1 ;Stable Border Bases for Ideals of Numerical Cartesian Sets[J];Communications in Mathematical Research;2011年03期

2 ;AN EXTREMAL APPROACH TO BIRKHOFF QUADRATURE FORMULAS[J];Journal of Computational Mathematics;2001年05期

3 史應(yīng)光;A negative answer to Problem 10 of P. Turan[J];Science in China,Ser.A;1996年10期

4 史應(yīng)光;A solution of Problem 26 of P. Turan[J];Science in China,Ser.A;1995年11期

5 史應(yīng)光;;Negative Answers to Problems 35, 40, and 41 of Turan[J];Science in China,Ser.A;1993年11期

6 史應(yīng)光;;Complete Answers to Problems 37—39 of Turán[J];Science in China,Ser.A;1993年09期

7 楊義群;Hermite-Birkhoff插值的余項(xiàng)表示(英文)[J];數(shù)學(xué)研究與評(píng)論;1985年02期

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本文編號(hào)：2485949