發(fā)布時間：2019-05-21 20:58

【摘要】：半拉格朗日(Semi-Lagrangian)方法廣泛用來計算Vlasov方程和模擬天氣預報業(yè)務,此方法將拉格朗日方法(Lagrangian)和歐拉方法(Eulerian)有效地融合在一起,同時具備了這兩種方法的優(yōu)點:一方面,經(jīng)過改進,Semi-Lagrangian方法可以具有高階精度;另一方面,Semi-Lagrangian方法不必受CFL條件的限制,在數(shù)值模擬時可以大量節(jié)省計算的時間。此外,加權本質無振蕩格式(WENO)作為一種具有高階精度的方法,同時具有無振蕩的性質。正是由于高階Semi-Lagrangian方法既能達到高階精確,又能有效地處理振蕩,本文針對守恒律方程提出了幾種高階的Semi-Lagrangian方法,并且通過數(shù)值模擬實驗檢驗了方法的高階精度和無振蕩的性質,進一步豐富了Semi-Lagrangian方法求解守恒律方程的理論知識。首先,提出了一維雙曲守恒律方程的高階Semi-Lagrangian有限體積(FV)方法。采用向左的4階RK方法計算特征曲線的初值問題,并利用特征曲線進行不同時間層的函數(shù)值的等價轉換,轉換后的函數(shù)值可由WENO方法重構來增加空間上的精度。由于沿著特征曲線的軌跡,初始點和終點的位置關系是變化的,故文中給出了適用于不同情形的WENO重構。進一步,通過精度檢測和對無振蕩性質的分析,驗證了算法的高精度和有效捕捉間斷點的性質。其次,提出了二維雙曲守恒律方程的高階Semi-Lagrangian有限差分(FD)方法。利用Legendre多項式構造了新的WENO方法,該方法與普通的WENO格式有同樣的模板和精度,但不需采用積分計算去實現(xiàn)整個重構過程,節(jié)省了計算時間,更適合重構文中的不在網(wǎng)格點上的數(shù)值流通量。除此之外,文中給出的一系列二維守恒律方程的數(shù)值試驗,驗證了該方法的高階精度和處理間斷點的能力。最后,提出了5階映射緊致Semi-Lagrangian FD方法。根據(jù)特征速度的符號,本文構造了不同的WENO重構方法,并將方法做了推廣。由于采用常見的非線性權的WENO方法會造成極值點附近的精度下降,因此本文介紹了映射的加權處理這類問題。在數(shù)值模擬時,利用精度分析和無振蕩性質的分析,驗證了5階映射緊致Semi-Lagrangian FD方法能達到5階精度,同時能維持捕捉間斷點的能力。綜上所述,基于高階Semi-Lagrangian方法在求解雙曲守恒律方程時的高階精度及高分辨率等特性,本文依次提出了一維標量方程、Euler方程和帶源項淺水方程的高階Semi-Lagrangian FV方法,二維雙曲守恒律方程的高階Semi-Lagrangian FD方法以及5階映射緊致Semi-Lagrangian FD方法。數(shù)值模擬試驗證明了這些方法的精度和無振蕩性,體現(xiàn)了高階Semi-Lagrangian方法計算雙曲守恒律方程的優(yōu)越性,同時說明了本文提出的方法適用于求解雙曲守恒律方程。
[Abstract]:The semi-Lagrangian (Semi-Lagrangian) method is widely used to calculate the Vlasov equation and simulate the weather forecasting operation. This method effectively combines the Lagrangian method (Lagrangian) with the Euler method (Eulerian). At the same time, it has the advantages of these two methods: on the one hand, after improvement, the Semi-Lagrangian method can have high-order accuracy; On the other hand, Semi-Lagrangian method does not need to be limited by CFL condition, and can save a lot of calculation time in numerical simulation. In addition, the weighted essential non-oscillatory scheme (WENO), as a method with high order accuracy, has the property of non-oscillatory at the same time. It is precisely because the high-order Semi-Lagrangian method can not only achieve high-order accuracy, but also effectively deal with oscillations. In this paper, several higher-order Semi-Lagrangian methods are proposed for conservation law equations. The higher order accuracy and non-oscillatory properties of the method are verified by numerical simulation experiments, which further enriches the theoretical knowledge of solving conservation law equations by Semi-Lagrangian method. Firstly, a higher order Semi-Lagrangian finite volume (FV) method for one-dimensional hyperbolic conservation law equations is proposed. The fourth order RK method to the left is used to calculate the initial value problem of the feature curve, and the equivalent transformation of the function value of different time layers is carried out by using the characteristic curve. The transformed function value can be reconstructed by WENO method to increase the spatial accuracy. Because the position relationship between the initial point and the end point is changed along the trajectory of the characteristic curve, the WENO reconstruction suitable for different cases is given in this paper. Furthermore, the high precision and effective capture of discontinuity points are verified by precision detection and analysis of non-oscillatory properties. Secondly, a high-order Semi-Lagrangian finite difference (FD) method for two-dimensional hyperbolic conservation law equations is proposed. A new WENO method is constructed by using Legendre multinomial. This method has the same template and accuracy as the ordinary WENO scheme, but it does not need integral calculation to realize the whole reconstruction process, which saves the calculation time. It is more suitable to reconstruct the numerical flux which is not on the grid point in the paper. In addition, a series of numerical experiments of two-dimensional conservation law equations are given in this paper, which verify the high-order accuracy of the method and the ability to deal with intermittent points. Finally, a 5-order mapping compact Semi-Lagrangian FD method is proposed. According to the symbol of characteristic velocity, different WENO reconstruction methods are constructed and extended. Because the common nonlinear weight WENO method will reduce the accuracy near the extreme point, this paper introduces the weighting of mapping to deal with this kind of problem. In the numerical simulation, the accuracy analysis and the analysis of non-oscillatory properties are used to verify that the 5-order mapping compact Semi-Lagrangian FD method can achieve the fifth-order accuracy and maintain the ability to capture the breakpoints at the same time. In summary, based on the high-order accuracy and high resolution of the higher-order Semi-Lagrangian method in solving hyperbolic conservation law equations, the one-dimensional scalar equation, the Euler equation and the higher-order Semi-Lagrangian FV method with source term shallow water equation are proposed in this paper. The higher order Semi-Lagrangian FD method and the fifth order mapping compact Semi-Lagrangian FD method for two dimensional hyperbolic conservation law equations. The numerical simulation results show that these methods are accurate and non-oscillatory, and show the superiority of higher order Semi-Lagrangian method in calculating hyperbolic conservation law equations. at the same time, it is shown that the method proposed in this paper is suitable for solving hyperbolic conservation law equations.
【學位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O241.82

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本文編號：2482397