【摘要】：積分方程這一重要的數(shù)學(xué)工具在力學(xué)、氣象預(yù)報(bào)、振動(dòng)理論、博弈論和粒子物理等學(xué)科中得到了廣泛地應(yīng)用。近年來(lái),對(duì)于分?jǐn)?shù)階微積分的理論研究也得到了科學(xué)工作者的日益重視,并且在流體力學(xué)、模型設(shè)計(jì)、地質(zhì)勘探、色散理論等方面得到了較好的效果。在有關(guān)分?jǐn)?shù)階積分的問(wèn)題中,常常會(huì)涉及到對(duì)一些分?jǐn)?shù)階形式的積分方程進(jìn)行計(jì)算。但是目前對(duì)于分?jǐn)?shù)階積分方程來(lái)說(shuō),求得其理論解比較困難,通常采用的辦法是通過(guò)數(shù)值方法來(lái)得到它的數(shù)值結(jié)果。所以進(jìn)一步完善它的數(shù)值解理論很有必要。本篇論文首先研究了第一類弱奇異Volterra積分方程的數(shù)值解法,通過(guò)引入廣義Jacobi函數(shù),將方程中未知函數(shù)進(jìn)行了替換,并將方程轉(zhuǎn)化為線性方程組的形式,從而得到其數(shù)值求解的格式,并對(duì)方程解的唯一性進(jìn)行了證明。同時(shí)還對(duì)一類積分微分方程,通過(guò)采用廣義Jacobi函數(shù)方法,給出了其配置法求解格式。其次對(duì)第二類分?jǐn)?shù)階Fredholm積分方程的數(shù)值解法進(jìn)行了研究,通過(guò)引入廣義Jacobi函數(shù),將方程中未知函數(shù)進(jìn)行了替換,通過(guò)配置法進(jìn)行求解,將方程轉(zhuǎn)化為線性方程組的形式,從而得到其數(shù)值求解的格式,并給出了方程解存在唯一的一個(gè)充分條件,同時(shí),對(duì)方法的誤差進(jìn)行了分析,最后通過(guò)幾個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了方法是有效的。
[Abstract]:Integral equation, an important mathematical tool, has been widely used in mechanics, weather forecast, vibration theory, game theory and particle physics. In recent years, more and more attention has been paid to the theory of fractional calculus, and good results have been obtained in fluid mechanics, model design, geological exploration, dispersion theory and so on. In the problem of fractional integral, it is often involved in the calculation of some fractional integral equations. However, for fractional integral equation, it is difficult to obtain its theoretical solution, usually the method is to obtain its numerical results by numerical method. Therefore, it is necessary to further improve its numerical solution theory. In this paper, we first study the numerical solution of the first kind of weakly singular Volterra integral equation. By introducing the generalized Jacobi function, we replace the unknown function in the equation and transform the equation into the form of linear equation system. The scheme of numerical solution is obtained, and the uniqueness of the solution of the equation is proved. At the same time, for a class of integro-differential equations, the scheme of collocation method is given by using the generalized Jacobi function method. Secondly, the numerical solution of the second kind of fractional Fredholm integral equation is studied. By introducing the generalized Jacobi function, the unknown functions in the equation are replaced and solved by collocation method, and the equation is transformed into the form of linear equations. A sufficient condition for the existence and uniqueness of the solution of the equation is given. At the same time, the error of the method is analyzed. Finally, several numerical examples show that the method is effective.
【學(xué)位授予單位】：哈爾濱工業(yè)大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號(hào)】：O241.83

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本文編號(hào)：2378165