【摘要】：本博士學位論文主要研究微分系統(tǒng)可積的代數方面,具有不變量的微分系統(tǒng)的整體動力學,以及解析微分系統(tǒng)和解析微分同胚的解析等價正規(guī)型的存在性。具體為廣義Lorenz系統(tǒng)的代數可積性,具有不變代數曲面的廣義Lorenz系統(tǒng)的極限環(huán)分支及其軌道的全局拓撲結構,同時還給出了任意階平均法的表示公式及其在周期解與可積性研究方面的應用。最后,我們考慮了解析可積微分系統(tǒng)在周期軌道鄰域的解析正規(guī)化子的存在性,以及環(huán)面解析擾動微分同胚與向量場的解析等價正規(guī)型的存在性與環(huán)面解析微分同胚族與向量場族的幾乎可約性。論文的研究內容共分四個部分。第一部分主要研究廣義Lorenz系統(tǒng)的代數可積性,極限環(huán)分支及其全局動力學。代數可積性是動力系統(tǒng)的一個重要研究課題,在Darboux[Bull.Sci.Math.2(1878),60 96,123 144,151 200]、Bruns[Theory of Differential Equations by Forsyth,1900]和Poincar′e[Rend.Circ.Mat.Palermo 5(1981),161 191;11(1987),193 239]做出了奠基性的工作之后,多項式微分系統(tǒng)代數可積性的問題轉化為完整地刻畫系統(tǒng)的Darboux多項式的問題。Poincar′e在他的工作中已指出:沒有有效的方法計算給定多項式微分系統(tǒng)的Darboux多項式,這也在過去100多年的研究中得到了證實。Lorenz系統(tǒng)不變代數曲面的分類問題始于Segur[Soliton and the inverse scattering transform,in Topics in Ocean-Physics,1982],但該系統(tǒng)Darboux多項式的完整分類問題直到2002年才由Llibre和Zhang[J.Math.Phys.43(2002),1622 1645]解決,從而進一步解決了經典Lorenz系統(tǒng)的代數可積性問題。沿著Llibre和Zhang的思想,我們考慮廣義Lorenz系統(tǒng):賦 = a(y- x) = P(x, y, z),賧 = bx + cy- xz = Q(x, y, z),賨=dz+xy=R(x,y,z),的代數可積性及其整體動力學,其中x,y和z是實變量,a,b,c和d是實參數。該系統(tǒng)是由經典的Lorenz系統(tǒng)[J.Atmos.Sci.20(1963),130 141],Chen系統(tǒng)[Internat.J.Bifur.Chaos 9(1999),1465 1466]和L¨u系統(tǒng)[Internat.J.Bifur.Chaos 12(2002),659 661]的統(tǒng)一化得到的系統(tǒng)。利用加權齊次多項式和解線性偏微分方程的特征曲線法以及Blow up變換技術,我們給出了廣義Lorenz系統(tǒng)Darboux多項式的完整的分類,進而在此基礎上完成了具有不變代數曲面的廣義Lorenz系統(tǒng)全局動力學性態(tài)的研究。這項工作從兩個方面推廣和改進了已有的相關工作[Llibre和Zhang,J.Math.Phys.2002;Cao和Zhang,J.Math.Phys.2007]:1、提供了包括經典Lorenz系統(tǒng),Chen系統(tǒng)和L¨u系統(tǒng)在內的三類微分系統(tǒng)的代數可積性的統(tǒng)一證明方法,特別的我們得到了chen系統(tǒng)與l¨u系統(tǒng)非代數可積的結論,這是全新的結果;2、提供了一類研究三維系統(tǒng)全局軌道拓撲結構的方法,尤其是給出了具有不變代數曲面的廣義lorenz系統(tǒng)極限環(huán)不存在的證明,并且完整地刻畫了從不變代數曲面及無窮遠點以外出發(fā)的軌道的α極限集和ω極限集。后兩個問題在已有的相關文獻中都沒能很好地解決。第二部分主要研究任意階平均法理論及其在微分方程周期解與可積性研究方面的應用。平均法是研究微分方程周期解分支的一個重要工具。低階平均法以及應用的結果非常豐富,任意階平均法理論只是近年來才發(fā)展起來。gin′e等在[physicad250(2013),58 65]中首先得到一維周期微分系統(tǒng)的任意階平均法公式。llibre等[nonlin-earity27(2014),2417 2417]在未擾動系統(tǒng)充滿等時周期軌道時得到任意階平均法公式并將其應用到平面系統(tǒng)的中心問題中。該結果需要一些特定的假設條件,從而限制了該方法的應用范圍。當未擾動的n維微分系統(tǒng)賦=f_0(t,x)的周期解形成的流形的維數小于n時,malkin和roseau分別于1956和1966年給出了一階平均法公式。buic?a等[comm.pureappl.anal.6(2007),103 111;physicad241(2012),528 533]將malkin和roseau的一階平均法公式擴展到二階平均法公式。但該情形下的任意階平均法公式一直沒有給出。通過發(fā)展新的技術和方法,我們給出任意有限維解析周期微分系統(tǒng)的任意階平均法公式。與前人的工作相比,我們結果的新穎之處體現(xiàn)在:1、給出了攝動微分系統(tǒng)的任意階平均法公式,它包含所有已知的相關結果作為特例;2、證明了平均法公式具有類似與bautin定理的結論,從而可用于研究平面解析微分系統(tǒng)的中心焦點問題,這是該領域的全新的結果;3、同時給出平面多項式微分系統(tǒng)在冪零和某些退化奇點鄰域的平均法公式,從而可以用于研究這類系統(tǒng)的可積性和極限環(huán)分支。第三部分研究解析可積微分系統(tǒng)在周期軌鄰域的解析等價正規(guī)型的存在性。正規(guī)型理論具有豐富的內容,它是研究動力系統(tǒng)的動力學性質的重要方法之一。這里主要關心poincar′e正規(guī)型,其中最困難的問題是將原系統(tǒng)化為poincar′e正規(guī)型的變換的收斂性。該領域經典的結果是poincar′e dulac定理,以及滿足diophantine條件的siegel定理和bruno定理等。近年來,zung等發(fā)現(xiàn)解析可積微分系統(tǒng)與解析等價正規(guī)型之間的聯(lián)系。zung[ann.math.161(2005),141 156;math.res.lett.9(2002),217 228]利用環(huán)作用的方法證明了解析可積hamilton系統(tǒng)等的解析等價正規(guī)型的存在性。zhang[j.differentialequations244(2008),1080 1092;254(2013),3000 3022]證明了局部解析可積微分系統(tǒng)在奇點鄰域的解析等價正規(guī)型的存在性,并且給出正規(guī)型的完整表達式。受上述工作的驅動,我們考慮解析微分系統(tǒng)賦=f(x),x∈??Rn,在周期軌道鄰域解析等價正規(guī)型的存在性,其中?銰R~n是開子集且f(x)∈Cω(?)。我們得到的結論是:當該系統(tǒng)有一個位于區(qū)域?內的周期軌Γ,且系統(tǒng)在該周期軌道鄰域解析可積,則該系統(tǒng)在周期軌道鄰域解析等價于它的Poincar′e正規(guī)型。這個結果進一步完善了解析可積微分系統(tǒng)與解析等價正規(guī)型之間的關系,同時我們指出與可積系統(tǒng)在原點附近的解析正規(guī)化子相比,該結果的最大困難是:1、在證明特征乘子的性質中,函數獨立的首次積分個數小于共振譜集所張成線性空間的維數,我們是根據Floquet乘子一定有0特征值來處理這個問題的;2、在解析正規(guī)化子存在性的證明中,沒有要求線性部分的矩陣滿足可對角化的條件,我們提供了一般情況下的證明。第四部分研究環(huán)面擾動解析微分同胚與解析向量場的解析等價正規(guī)型的存在性及環(huán)面微分同胚族與向量場族的幾乎可約性。對于環(huán)面動力系統(tǒng)的正規(guī)型研究一直較少,當未擾動系統(tǒng)的參數滿足Diophantine的條件時,Arnold[Geometric Methods in Theory of Ordinary Differential Equations,1990]給出了低維情況下環(huán)面微分同胚的解析可約性,Treschev和Zubelevich[Introduction to the Perturbation Theory of Hamiltonian System,2010]考慮了一類環(huán)面擾動向量場的解析可約性。對于向量場族而言,P′erez Marco[Comm.Math.Phys.223(2001),451 464;Ann.Math.157(2003),557 574]利用Pluripolar理論研究了向量場族與微分同胚族在平衡點鄰域的一致可約性。在他們工作的基礎之上,我們給出了環(huán)面擾動解析微分同胚與解析向量場在未擾動系統(tǒng)的參數滿足其它的條件下的解析正規(guī)化子的存在性。進一步地,我們將P′erez Marco的結論擴展到環(huán)面微分同胚族與環(huán)面向量場族,得到了環(huán)面微分同胚族與向量場族的幾乎可約性。這些推廣的難度主要體現(xiàn)在:1、為了證明同倫方程解析解的存在性,需要構建復數帶形區(qū)域上的Fourier理論,這比原點鄰域Fourier理論的證明上更加復雜;2、在證明幾乎可約性定理中,為了應用Bernstein-Walsh引理來處理非Pluripolar集,我們所構造的可數子集分解起到了關鍵的作用。
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【學位授予單位】：上海交通大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O175

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1 梁錦鵬;一類三次系統(tǒng)的極限環(huán)[J];系統(tǒng)科學與數學;2003年03期

2 王國棟,唐衡生,陳文成;一類2n-1次系統(tǒng)的極限環(huán)[J];南華大學學報(理工版);2003年02期

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本文編號：2357816