【摘要】：本文主要研究非線性偏微分方程多解計算的大范圍收斂性算法及其相關(guān)應(yīng)用。非線性偏微分方程解的多重性和不穩(wěn)定性,給計算方法的設(shè)計和相關(guān)理論的研究帶來了諸多本質(zhì)的困難,尤其是直接針對非線性偏微分方程本身的具有大范圍收斂性的數(shù)值算法的研究尚處于起步階段。如何設(shè)計穩(wěn)定的數(shù)值算法去逼近不穩(wěn)定的解,同時減少非線性偏微分方程多解計算對初值的依賴性,從而實現(xiàn)大范圍收斂性,又保證每次所計算出來的解一定為新解,從而使得每次計算都有效。上述內(nèi)容都是非常重要且富有挑戰(zhàn)性的科學(xué)問題。文章主要包含兩部分內(nèi)容。首先第一部分內(nèi)容針對具有山路型變分結(jié)構(gòu)的一類非線性偏微分方程,首先介紹基于標(biāo)準(zhǔn)化非精確搜索準(zhǔn)則的局部極小極大方法(LMM)的基本概念和思想,并回答“最優(yōu)化理論中Goldstein線性搜索策略是否能夠推廣應(yīng)用到無限維Hilbert空間非線性偏微分方程多解的計算中”這一問題。文中借助能量泛函J的梯度與局部峰選擇p(v)的有界變差的關(guān)系給出標(biāo)準(zhǔn)化Goldstein搜索準(zhǔn)則,該準(zhǔn)則克服了標(biāo)準(zhǔn)化Armijo搜索準(zhǔn)則在算法中需要人為設(shè)置一個最小迭代步長的缺陷。值得注意的是,在原來的LMM算法的可行性證明中,局部峰選擇p(v)滿足局部Lipschitz連續(xù)是一個非常重要的條件。本文將借助X.D.Yao在文獻(xiàn)[114]中定義的局部峰選擇p(v)所謂的“超線性”性質(zhì)將基于標(biāo)準(zhǔn)化Goldstein搜索準(zhǔn)則和Armijo搜索準(zhǔn)則的LMM算法的可行性證明中,p(v)的局部Lipschitz連續(xù)性條件降低為連續(xù)即可,并給出了在這種較弱的假定之下,上述兩個算法的全局收斂性。第二部分的內(nèi)容討論旨在計算新解的增廣部分牛頓法(APNM)。通過已找的解的信息構(gòu)造合適的增廣奇異變換(AST),再利用APN-M方法求解相應(yīng)的增廣奇異方程。該方法將迭代限制在一類廣義的Nehari流形MG內(nèi)進(jìn)行,打破了經(jīng)典Newton法的奇異線-局部場結(jié)構(gòu)和對稱不變性,這是區(qū)別于其他Newton型算法的最大亮點。值得指出的是,該算法不受變分結(jié)構(gòu)的限制,并保證了每次計算出來的解必定為新解,但其核心是構(gòu)造合適的增廣奇異變換。在我們已有工作的基礎(chǔ)上[115],本文將提出一類新的巧妙地增廣奇異變換G,其在形式上雖然只與文[115]中的增廣奇異變換G發(fā)生了看似細(xì)微的改變,但其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)卻發(fā)生了巨大變化。事實上,利用該新的增廣奇異變換G在計算新解時所需條件將大為減弱,且條件易于驗證。此外上述利用新的增廣奇異變換G求新解的思想對于非齊次問題同樣適用,從而擴(kuò)大了APNM方法的應(yīng)用范圍。本部分內(nèi)容將給出基于這類新的增廣奇異變換G的APNM方法的理論分析,并將其直接應(yīng)用到幾類非線性偏微分方程多解計算中,其中包含Henon方程、Gross-Pitaevskii方程以及一類非齊次非線性偏微分方程。
[Abstract]:In this paper, the large range convergence algorithm of nonlinear partial differential equations with multiple solutions and its related applications are studied. The multiplicity and instability of the solutions of nonlinear partial differential equations bring many essential difficulties to the design of calculation methods and the study of related theories. Especially, the study of numerical algorithms with large range convergence for nonlinear partial differential equations is still in its infancy. How to design a stable numerical algorithm to approximate the unstable solution, and at the same time to reduce the dependence of the multiple solutions of nonlinear partial differential equations on the initial value, so as to achieve the convergence of a wide range, and to ensure that the solution calculated every time must be a new solution. So that every calculation is effective. All of these are very important and challenging scientific issues. The article mainly contains two parts. In the first part, for a class of nonlinear partial differential equations with mountain path variational structure, the basic concepts and ideas of the local minimax method (LMM) based on the standard inexact search criterion are introduced. The question whether the Goldstein linear search strategy in optimization theory can be extended to the computation of multiple solutions of nonlinear partial differential equations in infinite dimensional Hilbert spaces is answered. Based on the relationship between the gradient of the energy functional J and the bounded variation of the local peak selection p (v), a normalized Goldstein search criterion is presented, which overcomes the defect that the normalized Armijo search criterion needs to set a minimum iterative step size artificially in the algorithm. It is worth noting that the local peak selection of p (v) to satisfy the local Lipschitz continuity is a very important condition in the feasibility of the original LMM algorithm. In this paper, with the help of the local peaks defined by X.D.Yao in reference [114], the so-called "superlinear" property of p (v) is chosen. The feasibility of the LMM algorithm based on standardized Goldstein search criteria and Armijo search criteria is proved by reducing the local Lipschitz continuity condition of p (v) to continuity. The global convergence of the two algorithms is given under this weak assumption. The second part discusses the augmented partial Newton method (APNM).) for calculating the new solution. The appropriate augmented singular transformation (AST),) is constructed from the information of the solution, and the APN-M method is used to solve the corresponding augmented singular equation. The method limits the iteration to a class of generalized Nehari manifold MG and breaks the singular line-local field structure and symmetry invariance of the classical Newton method, which is the highlight of other Newton algorithms. It is worth pointing out that the algorithm is not restricted by the variational structure and ensures that the solution calculated every time must be a new solution, but its core is to construct an appropriate augmented singular transformation. On the basis of our previous work, this paper will propose a new class of ingeniously augmented singular transformations G, whose mathematical structure has changed greatly although it only appears to change slightly with the augmented singular transformation G in [115]. As a matter of fact, the conditions required for the calculation of the new solution by using the new augmented singular transformation G will be greatly weakened, and the conditions are easy to verify. In addition, the idea of using the new augmented singular transformation G to find the new solution is also applicable to the nonhomogeneous problem, thus extending the application of the APNM method. In this part, the theoretical analysis of the APNM method based on the new augmented singular transformation G is given, and it is directly applied to the multiple solutions of several nonlinear partial differential equations. It contains Henon equation, Gross-Pitaevskii equation and a class of nonhomogeneous nonlinear partial differential equations.
【學(xué)位授予單位】：湖南師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175.29

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本文編號：2252367