【摘要】：本文我們將用非線性泛函分析中的臨界點理論,變分法,Nehari流形等來研究如下擬拋物方程ut-a△ut-△u=f(u), x∈Q,t0,其中Ω是R~N中的開集.當(dāng)a=0時,上述方程就是經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程.當(dāng)a=1時,作為擬拋物方程,它描述了許多重要的物理現(xiàn)象,如通過裂隙巖石的均勻流體的滲透,非線性長色散波的單向傳播等.本文分六章.第一章主要介紹擬拋物方程的一些研究背景.國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及本文的一些主要結(jié)果,在第二章中.我們將使用擾動的勢井的方法研究下列具有一般源項的擬拋物方程初邊值問題其中Ω是R~N中的有界光滑區(qū)域以及f滿足如下條件：(f_1)f:R→R是連續(xù)可微的、且存在常數(shù)C0以及p∈(2,2*),使得|f'(u)|≤C(1+|u|~(p-2)),u∈R,這里當(dāng)N≥3時,2*=2N/(N-2);當(dāng)N=1,2時.2*=∞；(f_2)f(u)u0,u∈R|{0}且存在θ1.使得f(u)/|u|~θ在(-∞,0)以及(0,∞)上都是嚴(yán)格遞增的.首先,我們證明了上述問題在條件(f_1)下解的局部存在唯一性.常用的證明解的局部存在唯一性的工具有Galerkin方法與半群理論.用Galerkin方法證明解的局部存在唯一性.不僅需要做一些復(fù)雜的先驗估計,還需要證明一些收斂性.然而.利用這種方法僅能獲得解的存在性并不能得到解的具體的表達(dá)式.與這種方法相比,使用半群理論雖然可以得到解的表達(dá)式.但必須通過較長的篇幅來驗證相應(yīng)的算子能夠生成半群.在§2.2節(jié)中,通過使用橢圓正則性理論Sobolev嵌入以及Banach空間中的抽象常微分方程理論.我們得到了擬拋物方程初邊值問題在條件(f_1)下解的局部存在唯一性定理.證明過程既避免了驗證算子生成半群.又將解用一個不依賴于任何半群的新的積分形式重新表示出來.同時.我們還證明了兩個重要的恒等式.定理2.1.4設(shè)f滿足條件(f_1)以及u_0∈H_0~1(Ω),則問題(2.1.1)具有唯一的弱解u∈C1([0,T),H_0~1(Ω))且u具有如下積分表達(dá)式以及其中T是u的最大存在時刻.進(jìn)一步,若T∞,則這里||u||12= ∫Ω[|%絬|2+u2],u∈H_0~1(Ω)此外,如下兩個恒等式成立以及其中J,I分別是問題(2.1.1)的平衡態(tài)相應(yīng)的能量泛函與Nehari泛函.在§2.3節(jié)中,我們討論了問題(2.1.1)解的全局存在性與爆破性并證明了如下定理.定理2.1.5設(shè)條件(f_1).(f_2)成立,u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t；u_0)是問題(2.1.1)的解而且其最大存在時刻記為T.若J(u_0)≤d,則下列結(jié)論成立：(ⅰ)若I(u_0)0,則T=∞,且對所有滿足t0+[d-J(u_0)]0的t0∈R+=[0,∞),都存在ω=ω(t0)0,使得(ⅱ)若I(u_0)0,則T∞且u在T時爆破,即(ⅲ)若I(u_0)=0,J(uo)=d則u_0是問題(2.1.1)的不穩(wěn)定的平衡解.定理2.1.5將Xu和Su在文獻(xiàn)[78]中對具有純冪源的擬拋物方程得到的結(jié)論推廣到了具有更一般的非線性源的情形.在這個過程中：我們用到了一族擾動的泛函Iδ,流形Nδ以及下確界d(δ).通過利用隱函數(shù)定理,變分法以及Sobolev嵌入,我們首次證明了對所有的δ∈(0,(θ+1)/2),下確界d(δ)都是可達(dá)的.這個現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)有助于簡化[78]中關(guān)于函數(shù)d(·)的單調(diào)性與連續(xù)性的證明.隨后,利用定理2.1.5.我們證明了問題(2.1.1)的全局解的有界性與收斂性.定理2.1.7設(shè)條件(f_1)，(f_2)成立,u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t；u_0)是問題(2.1.1)的一個全局解,則u在H_0~1(Ω)中有界,即u∈L∞(R+,H_0~1(Ω))進(jìn)一步，存在{tn},c≥0以及u*∈Kc,使得tn→∞,且其中Kc={u∈H_0~1(Ω):J'(u)=0,J(u)=c}特別地,若u*是問題(2.1.1)的一個孤立的臨界點,則在第三章中,針對定理2.1.5的結(jié)論,我們提出并解決了三個問題，同時還建立了保證擬拋物方程和拋物方程的解在有限時刻爆破的充分條件.第一個很自然的問題就是在不假設(shè)J(u_0)≤d的前提下,I(u_0)0能否仍保證問題(2.1.1)的解在其有限的最大存在時刻爆破?在§3.1節(jié)中,我們證明了對一類特殊的f(即f(u)=|u|~(p-2)u-u)答案是肯定的.進(jìn)一步,通過將解決定的流與Nehari流形相結(jié)合,我們還獲得了一個使得問題(3.1.1)的解在其有限的最大存在時刻爆破的充要條件.事實上,令N-={u∈H_0~1(Ω):I(u)0}則全空間H_0~1(Ω)可以分解為H_0~1(Ω)=S+uS-，其中S+={u_0∈H_0~1(Ω):u(t)(?)N-,t∈[0,T)}, S-={u_0∈H_0~1(Ω):存在t0∈[0,T),使得u(u_0)∈N_},這里字母S表示“源”.進(jìn)一步,我們可以證明定理3.1.2(i)設(shè)u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t；u_0)是問題(3.1.1)的一個解且其最大存在時刻為T,則T∞當(dāng)且僅當(dāng)u_0∈S-.換言之,T∞當(dāng)且僅當(dāng)存在t0∈[0,T),使得I(u(t0))0.(ⅱ)0是問題(3.1.1)的唯一的穩(wěn)定的平衡解.與先前的結(jié)論不同,定理3.1.2的(i)給出了關(guān)于問題(3.1.1)的解的爆破性的一個尖利的判斷準(zhǔn)則.值得指出的是,這個準(zhǔn)則不是真正依賴于初值，而是與解相應(yīng)的軌道密切相關(guān)的.此外，注3.1.13證明了集合S-在由解u決定的流下是不變的.從這個意義上看,我們得到了解的爆破性和它的不變集有一定的聯(lián)系,這是個有趣的現(xiàn)象.目前，這部分內(nèi)容已被SCI核心期刊《Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics》接收.見[83].由于文獻(xiàn)[15]證明了第一個問題的答案在對數(shù)源情形下(f(u)=ulog |u|)是否定的，我們不能期望對所有的f都證明I(u_0)0是擬拋物方程解在有限時刻爆破的充分條件.因此.第二個問題就出現(xiàn)了：對于具有一般的非線性源項的擬拋物方程.能否找到一個合適的泛函I來代替I,使得I(u_0)0能保證問題(2.1.1)的解在有限時刻爆破?當(dāng)然，這里要求{u∈H_0~1(Q):I(v)0,J(v)≥d)≠(?)在§3.2節(jié)中.對問題(2.1.1)中(f_1),(f_2)成立的情形.我們證明滿足上述條件的泛函是存在的,同時也給出了與第二章中不同的保證解在有限時刻爆破的充分條件.事實上.定義泛函I為其中μ=θ+1,v=λ1/(1+λ1)以及則下列結(jié)論成立.定理3.2.1設(shè)條件(f_1),(f_2)成立,u_0∈H_0~1(Ω)\{0},u=u(x,t；u_0)是問題(2.1.1)的解并記其最大存在時刻為T.若I(u_0)≤0,則T∞,且u在時刻T時爆破.上述兩個問題都關(guān)注的是擬拋物方程,第三個問題是上述結(jié)論對于拋物方程是否仍然成立?因此，，我們在§3.3節(jié)中考慮了一類經(jīng)典的熱方程初邊值問題(3.3.1)解的爆破性.首先,我們說明了定理3.1.2的結(jié)論對問題(3.3.1)不成立.然后.受§3.2節(jié)研究方法的啟發(fā),對問題(3.3.1),類似于定理3.2.1,我們獲得了一個新的保證解在有限時刻爆破的充分條件，同時還得到了一個較大的爆破集.事實上，首先定義如下新泛函J*以及相應(yīng)的流形N*這里λ1是算子一△在H_0~1(Ω)中關(guān)于齊次Dirichlet邊界條件的第一特征值.進(jìn)一步,定義集合其中V={u∈H_0~1(Ω):I(u)0,J(u)d}接著.我們對問題(3.3.1)建立了如下一個新的能夠保證解在其有限的最大時刻爆破的充分條件.定理3.3.3若u_0∈B,則問題(3.3.1)的解u在其有限的最大存在時刻爆破.特別地,若J*(u_0)≤0,則解u在有限時刻爆破.根據(jù)[26,定理9]或[64,定理19.5,118頁],V是問題(3.3.1)的一個爆破集.在§3.3節(jié),我們證明了B比V嚴(yán)格大.因此,定理3.3.3改進(jìn)了已有的關(guān)于拋物方程的爆破集的結(jié)論.這部分內(nèi)容已發(fā)表于《Applicable Analysis:An International Journal》見[82].在第四章中.我們考慮了R2中一類具有指數(shù)源項的擬拋物方程初邊值問題,即源項f滿足如下條件與(f_2)：(f'1)f∈C1(R,R)且f滿足次臨界指數(shù)增長條件.即對每個β0都存在正常數(shù)Cβ,使得|f'(u)|,|f(u)|≤Cβeβu2,u∈R.根據(jù)條件(f_1')，源項f可以是一個指數(shù)函數(shù).這樣f在無窮遠(yuǎn)處不可能由冪函數(shù)控制住,即(f_1)不成立.因此.我們必須重新證明定理2.1.4,2.1.5,2.1.7以及定理3.2.1的結(jié)論對R2中問題(1.2)中(f_1')與(f_2)成立的情形仍然成立.定理4.1.3設(shè)條件(f_1')成立以及u_0∈H_0~1(Q)則問題(2.1.1)(也就是問題(4.1.1))具有唯一的弱解u∈C1([0,T),H_0~1(Ω))這里T是u的最大存在時刻.特別地,若T∞,則l此外.恒等式(2.1.11)與(2.1.12)仍然成立,且解u還具有一個不依賴于半群的積分表達(dá)式.定理4.1.4設(shè)f滿足條件(f_1'),(f_2),u_0∈H_0~1(Ω)以及u=u(x,t;u_0)是問題(4.1.1)的一個弱解而且其最大存在時刻是T.若J(uo)≤d,則下列結(jié)論成立：(ⅰi)若I(u_0)0.則T=∞.且對所有滿足t0+[d-J(uo)]0的非負(fù)數(shù)t0，都存在正常數(shù)ω=ω(t0),使得(ⅱ)若I(u_0)0,則T∞且u在T時爆破,即(ⅲ)若I(u_0)=0,J(u_0)=d則u_0是問題(4.1.1)的一個不穩(wěn)定的平衡解.進(jìn)一步,我們獲得了如下一個保證具有指數(shù)型源項的擬拋物方程的解在有限時刻爆破的充分條件.定理4.1.5設(shè)f滿足條件(f'1),(f_2),u_0∈H_0~1(Ω)\{0}若I*(u_0)≤0,則解u在有限時刻爆破,其中I*(u)=||u||12-u∫ΩF(u),u∈H_0~1(Ω).據(jù)我們所知,對具有指數(shù)型源的擬拋物方程的研究成果還很少,目前,第四章的內(nèi)容已發(fā)表在《Communications on Pure and Applied Analysis》見[85].在第五章中,我們考慮了R3中一類帶有非局部項的擬拋物方程的初邊值問題其中Ω是R3中的有界光滑區(qū)域,p∈(2,6),a≥0,b=±1以及φu是按如下方式定義的非局部項這里G是由[23,§2.2.4(a),34頁]給出的與區(qū)域52相應(yīng)的格林函數(shù)以及對固定的x∈Ω.φx是滿足如下邊值問題的一個修正函數(shù)我們將使用擾動的勢井的方法來研究上述非局部問題解的全局存在性與爆破性.注意到由于非局部項φ。的出現(xiàn),問題(1.4)的解u依賴于其在整個Ω上的值.而不僅僅是一個逐點成立的方程.因此,我們不能直接利用§2.1節(jié)與§3.2節(jié)的結(jié)論.故我們有必要重新證明相應(yīng)的結(jié)論對非局部擬拋物方程的初邊值問題(5.1.1)仍然成立.首先.在§5.2節(jié)中.我們證明了問題(5.1.1)的解的局部存在唯一性定理仍然成立.定理5.1.2設(shè)u_0∈H_0~1(Ω),b=±1以及p∈[2,6],則問題(5.1.1)具有唯一的弱解u∈C1([0,T),H_0~1(Ω))其中T是u的最大存在時刻.此外.u具有下列積分表達(dá)式以及進(jìn)一步,若T∞,則其次.在§5.3節(jié)中,我們證明了一個關(guān)于問題(5.1.1)解的全局存在性與爆破性的重要定理.定理5.1.3設(shè)u_0∈H_0~1(Ω),u=u(x,t；u_0)是問題(5.1.1)的解以及其最大存在時刻為T.并設(shè)正數(shù)p滿足當(dāng)b=-1時,p∈(4,6);當(dāng)b=1時，p∈(2,6).若J(u_0)≤d,則如下結(jié)論成立：(ⅰ)若I(uo)0.則T=∞,且對所有滿足to+[d-J(u_0)]0的t0∈R+,都存在ω=ω(to)0.使得(ⅱ)若I(u_0)0.則T∞且u在T時刻爆破,即(ⅲ)若I(u_0)=0,J(u_0)=d,則u_0是初邊值問題(5.1.1)的不穩(wěn)定的平衡解.在第五章最后一節(jié),我們建立了問題(5.1.1)的解在有限時刻爆破的一個判別準(zhǔn)則.令p=min{2,p/2}以及則下列結(jié)論成立.定理5.1.5設(shè)u_0∈H_0~1(Ω)\{0},p滿足當(dāng)b=-1時,p∈(4,6);當(dāng)b=1時.p∈(2,6).若I*(u_0)≤0,則問題(5.1.1)的解在其有限的最大存在時刻爆破.在文獻(xiàn)[32]中,Ianni通過先驗估計的方法考慮了初邊值問題(5.1.1)在a=0,b=±1以及p∈(4,6)時局部解和全局解的存在性.因此,第五章完善了文獻(xiàn)[32]中的結(jié)論.目前,第五章的部分內(nèi)容已發(fā)表在《Mathematical Methods in the Applied Science》,見[84].在本文的最后一章中,我們將研究如下R3中具有臨界增長型源的非局部擬拋物方程的平衡解其中λ∈R+以及g滿足如下條件：(g_1)g具有擬臨界增長,即(g_2)g(u)u0,u∈R.9(u)/|u|3在(-∞,0)以及(0,∞)上嚴(yán)格增,且這里G(u)=∫0ug(s)ds,u∈R.通過使用擾動的方法,我們建立了上述問題的最小能量的平衡解的存在性,也就是證明了臨界Schrodinger-Poisson系統(tǒng)(6.1.2)的基態(tài)解的存在性.第六章的主要結(jié)論是如下定理.定理6.1.1設(shè)條件(g_1),(g_2)成立,則存在λ00,使得當(dāng)λ∈[0,λ0)時,系統(tǒng)(6.1.2)具有一個基態(tài)解.與文獻(xiàn)[81]不同,在定理6.1.1的證明過程中.對λ0的情形,通過尋找相應(yīng)的能量泛函Jλ的距離在J0的山路型臨界點很近的非平凡臨界點,我們證明了系統(tǒng)(6.1.2)基態(tài)解的存在性.這個過程不再需要驗證泛函Jλ滿足(PS)cλ條件,從而改進(jìn)了[81]中的證明方法.
[Abstract]:......
【學(xué)位授予單位】：山西大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O175.26
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本文編號：
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