【摘要】：本文主要研究幾類非線性Kirchhoff型方程正解的存在性與多解.本文共分為五章:在第一章中,我們將對本文研究問題的背景和國內外Kirchhoff方程的研究現(xiàn)狀做概述,并簡要介紹本文的主要工作以及相關的預備知識和一些記號.在第二章中,我們首先考慮一類帶一對競爭位勢的Kirchhoff型問題:其中常數a,b0,非線性指標3p5,位勢V(x)和Q(x)屬于C_(loc)~ γ(R~3)∩L_∞(R~3):,0γ1.我們研究這對競爭位勢在無窮遠處各自的漸進性質如何影響方程基態(tài)解的存在性.若把兩個位勢表示為V(x)= V_∞+ λh(x)和Q(x)= Q_∞+ q(x),且滿足 V_∞,Q_∞0,λ ≥ 0,limn|x|→∞h(x)= lim|x|→∞q(x)= 0,我們證明下面三個結果成立:(1)當h(x),q(x)≥ 0,并且在無窮遠處h(x)衰減得比q(x)“快”,則對任意的λ0方程都存在正基態(tài)解;(2)當/h(x),q(x)≥ 0,并且在無窮遠處h(x)衰減得比q(x)“慢”,則存在λ*0,如果0λλ*方程存在正基態(tài)解;(3)當h(x)0,q(x≤ 0并且q(x)的最大值滿足某些條件,則存在λ*0,如果0λλ*方程有一個束縛態(tài)解.考慮基態(tài)解的存在性問題時,我們利用方程的變分結構,采用直接變分方法研究相應的能量泛函在Nehari流形上的約束極小問題是否可達.另外,結合重心映射我們在Nehari流形上構造了一種環(huán)繞結構,并利用環(huán)繞定理得到能量泛函的一個極小極大水平和落在這個水平集上的方程的束縛態(tài)解.在第三章中,我們考慮一類奇異擾動Kirchhoff型問題:其中ε0是一個小參數,常數a,b0,非線性指標p ∈(2,6),Q(x)∈ C(R~3)是一個非負函數.我們研究參數∈0充分小的時候,函數Q(x)的形狀如何影響方程解的個數.事實上當∈0充分小,Q(x)有多少個全局極大值點,我們就能找到多少個方程的正解使得這些解的重心分別落在Q(x)的各個極大值點附近.類似地,我們在第四章中考慮一類含Sobolev臨界非線性項的奇異擾動Kirchhoff問題:其中p ∈(4,6),λ0.我們證明當p充分靠近Sobolev臨界指數或者λ0充分小,奇異擾動問題存在多解.為證明這些結論,我們結合重心映射構造Nehari流形的幾個閉子集,研究相應能量泛函在這些閉子集上的極小值能否在閉子集的內部達到.在第五章中,我們研究下面這類Kirchhoff型問題極小能量解的存在性:其中常數a,b0,參數λ0,非線性指標p ∈(2,6),正函數h(x)屬于C2(R~3)且在無窮遠處以代數衰減收斂到零.我們證明當h(x)在無窮遠處的衰減速度滿足一些條件時,存在λ00使得對任意的λ ∈(0,λ0)方程都有極小能量解.利用Ekeeand變分原理,我們率先證明相應能量泛函在Nehari-Pohozaev流形上的極小化序列是Palais-Smale序列.再通過集中緊性討論,我們證明極小化序列是列緊的.
[Abstract]:In this paper, we study the existence and multiple solutions of positive solutions for some nonlinear Kirchhoff type equations. This paper is divided into five chapters: in the first chapter, we will summarize the background of this paper and the research status of Kirchhoff equation at home and abroad, and briefly introduce the main work of this paper and related preparatory knowledge and some notation. In the second chapter, we first consider a class of Kirchhoff type problems with a pair of competitive potentials, where the constant Ab0, the nonlinear index 3p5, the potential V (x) and Q (x) belong to C _ (loc) ~ 緯 (Ry ~ (3) 鈮，

本文編號：2213702