【摘要】：本學(xué)位論文主要研究無限維實Hilbert空間背景下幾類新的變分不等式(系統(tǒng))、不動點、非線性算子方程及它們的公共解問題。本文分別利用投影算子技巧、Wiener-Hopf方程組技巧、輔助原理技巧和強正有界線性算子技巧,改進了Mann迭代方法、混合方法、外逼近方法、外梯度方法和粘性迭代方法,構(gòu)造了幾種新的迭代算法,并證明了迭代序列的收斂性。其結(jié)果改進、推廣與補充了之前文獻中相應(yīng)的結(jié)果。全文共分五章。第一章,介紹了變分不等式和非線性算子方程的研究背景,回顧了文中將要用到的一些基本概念和基本理論,并簡述了本文的主要工作與結(jié)構(gòu)安排。第二章,研究了一類新的廣義集值非線性隱擬變分不等式系統(tǒng)問題。首先,證明了廣義集值非線性隱擬變分不等式系統(tǒng)問題分別等價于相應(yīng)的不動點問題和Wiener-Hopf方程組問題。其次,利用投影算子技巧和Wiener-Hopf方程組技巧,構(gòu)造了兩種新的迭代算法。最后,證明了廣義集值非線性隱擬變分不等式系統(tǒng)問題解的存在性和迭代序列的收斂性。這是首次利用Wiener-Hopf方程組技巧求解變分不等式系統(tǒng)問題。通過比較這兩種方法所得到的結(jié)果,表明Wiener-Hopf方程組技巧比投影算子技巧更一般。第三章,基于第二章,利用輔助原理技巧,研究了一類新的廣義集值強非線性混合隱擬似變分不等式系統(tǒng)問題。首先,證明了相應(yīng)的輔助變分不等式系統(tǒng)問題解的存在性。然后,利用這個解的存在性結(jié)果,構(gòu)造了一個新的迭代算法。最后,證明了原問題解的存在性和迭代序列的收斂性。這是對Noor等(Korean J.Comput.Appl.Math.1998,1:73-89;J.Comput.Appl.Math.1993,47:285-312)提出的公開問題做的肯定的回答。第四章,為了尋找兩族有限極大單調(diào)映射的公共零點集、非擴張映射的不動點集和具單調(diào)Lipschitz連續(xù)映射的變分不等式解集的公共元問題,介紹和研究了一種新的一般混合迭代算法。該算法基于以下列四種著名的方法:Mann迭代方法、混合方法、外逼近方法和外梯度方法。證明了公共元的存在性和迭代序列的強收斂性。本章的結(jié)果極大地推廣和改進了文獻[Wei L.,Tan R.L.Fixed Point Theory and Applications.2014,77(1)]中相應(yīng)的結(jié)果。第五章,基于第四章的內(nèi)容,首先利用強正線性有界算子技巧,構(gòu)造了一種新的廣義Mann型混合復(fù)合外梯度CQ迭代算法。然后利用這個算法,找到了具單調(diào)Lipschtiz連續(xù)映射的變分不等式的解集,兩族有限極大單調(diào)映射的零點集,依中間意義漸近κ-嚴格偽壓縮映射的不動點集的公共元。最后,證明了公共元的存在性和迭代序列的強收斂性。
[Abstract]:In this dissertation, we study some new variational inequalities (systems), fixed points, nonlinear operator equations and their common solutions in infinite dimensional real Hilbert spaces. In this paper, we improve Mann iterative method, mixed method, outer approximation method, outer gradient method and viscous iteration method by using projection operator technique, auxiliary principle technique and strongly positive bounded linear operator technique, respectively. Several new iterative algorithms are constructed and the convergence of iterative sequences is proved. The results are improved to extend and supplement the corresponding results in previous literatures. The full text is divided into five chapters. In the first chapter, we introduce the research background of variational inequality and nonlinear operator equation, review some basic concepts and theories that will be used in this paper, and introduce the main work and structure of this paper. In chapter 2, we study a new class of generalized set-valued nonlinear implicit quasi-variational inequality systems. Firstly, it is proved that the generalized set-valued nonlinear implicit quasi-variational inequality problems are equivalent to the corresponding fixed point problems and Wiener-Hopf equations respectively. Secondly, two new iterative algorithms are constructed by using the technique of projection operator and Wiener-Hopf equations. Finally, the existence of solutions and the convergence of iterative sequences for generalized set-valued nonlinear implicit quasi-variational inequality systems are proved. This is the first time that Wiener-Hopf equations are used to solve variational inequality system problems. By comparing the results obtained by the two methods, it is shown that the technique of Wiener-Hopf equations is more general than that of projection operator. In chapter 3, based on the second chapter, a new class of generalized set-valued strongly nonlinear mixed implicit quasi-variational-like inequality systems is studied by using the auxiliary principle technique. Firstly, the existence of solutions for the corresponding auxiliary variational inequality systems is proved. Then, a new iterative algorithm is constructed by using the existence of the solution. Finally, the existence of the solution and the convergence of the iterative sequence are proved. This is a yes answer to a public question raised by Noor et al. (Korean J.Comput.Appl.Math.199881: 73-89 J.Comput.appl.Math.1993 47: 285-312). In chapter 4, in order to find the common zero set of two families of finite maximal monotone mappings, the fixed point sets of nonexpansive mappings and the common element problems of solutions of variational inequalities with monotone Lipschitz continuous mappings, A new general hybrid iterative algorithm is introduced and studied. The algorithm is based on the following four famous methods: the: Mann iteration method, the hybrid method, the external approximation method and the outer gradient method. The existence of common elements and the strong convergence of iterative sequences are proved. The results of this chapter greatly extend and improve the corresponding results in [Wei L. Li Tan R. fixed Point Theory and applications s.2014 (1)]. In chapter 5, based on the content of chapter 4, a new generalized Mann type hybrid compound outer gradient CQ iterative algorithm is constructed by using the technique of strongly positive linear bounded operator. Then the solution set of variational inequalities with monotone Lipschtiz continuous mapping, the set of zeros of two families of finite maximal monotone mappings, and the common elements of fixed point sets of asymptotically 魏 -strictly pseudocontractive mappings with intermediate meaning are found. Finally, the existence of common elements and the strong convergence of iterative sequences are proved.
【學(xué)位授予單位】：上海師范大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號】：O177.91

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本文編號：2137661