【摘要】：本文主要研究了一維退化雙曲方程的能控性和Ginzburg-Landau方程的不靈敏控制問(wèn)題.對(duì)退化雙曲方程.根據(jù)控制所施加的位置不同.我們分別研究了其邊界能控性和內(nèi)部能控性:而對(duì)于某些不能做到零能控的退化雙曲方程.我們研究其較弱的能控性質(zhì).包括區(qū)域能控性和延遲區(qū)域能控性.Ginzburg-Landau方程可以描述非線性波的許多超導(dǎo)現(xiàn)象并且在振幅方程理論中起到重要作用.我們主要研究非線性Ginzburg-Landau方程不靈敏控制的存在性.本論文的主要內(nèi)容分為以下四部分.在本文的第2章中,我們致力于研究一類具有齊次Dirichlet邊界條件和內(nèi)部控制的非線性復(fù)Ginzburg-Landau方程不靈敏控制的存在性.當(dāng)方程中的非線性項(xiàng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處滿足適當(dāng)?shù)某�性增長(zhǎng)條件時(shí).我們證明了相應(yīng)半線性Ginzburg-Landau方程不靈敏控制的存在性.同時(shí).當(dāng)方程中非線性項(xiàng)僅是光滑函數(shù)不加任何增長(zhǎng)條件時(shí),我們得到了不靈敏控制的局部性結(jié)果.按通常的方法,我們將不靈敏控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性和半線性Ginzburg-Landau 方程耦合而成的方程組在單個(gè)控制下的能控性問(wèn)題,關(guān)鍵是建立線性耦合 Ginzburg-Landau方程組在單個(gè)觀測(cè)下的一個(gè)能觀不等式.在本文的第3章中.我們致力于研究一維線性退化雙曲方程的邊界零能控問(wèn)題.因退化雙曲方程仍具有時(shí)間可逆性,所以其零能控與精確能控等價(jià).首先,我們討論了線性退化雙曲方程的適定性.然后.給出了當(dāng)控制施加在非退化邊界時(shí)某些退化雙曲方程的零能控性.不同于已知的控制施加在退化邊界的能控性結(jié)果,在這種情況下?tīng)顟B(tài)空間中的任意初值都是零能控的.同時(shí),我們給出了能控性時(shí)間的精確表達(dá)式.另外.對(duì)某些其他的退化雙曲方程我們給出了不零能控的反例.在本文的第4章中,我們致力于研究一維半線性退化雙曲方程的內(nèi)部零能控問(wèn)題.應(yīng)用Hilbert唯一性方法,我們需建立線性退化雙曲方程的一個(gè)能觀性估計(jì).由特征線法我們先證明退化雙曲方程的唯一延拓性,再由唯一延拓性結(jié)合乘子法證明能觀不等式.關(guān)鍵在于乘子的構(gòu)造.在本文的第5章中,我們致力于研究一維線性退化雙曲方程施加內(nèi)部控制時(shí)的延遲區(qū)域零能控問(wèn)題.不同于非退化雙曲方程,對(duì)某些退化雙曲方程經(jīng)典的零能控結(jié)果不成立.因此,引入了延遲區(qū)域零能控性,它意味著找一個(gè)控制使得退化雙曲方程的相應(yīng)狀態(tài)在空間區(qū)域的某個(gè)子集里和一段時(shí)間內(nèi)恒為零.為此.我們先建立退化雙曲方程的區(qū)域零能控性.此問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為線性退化雙曲方程一個(gè)適當(dāng)?shù)哪苡^性問(wèn)題.關(guān)鍵是構(gòu)造合適的乘子來(lái)證明此能觀不等式.
[Abstract]:In this paper, the controllability of one-dimensional degenerate hyperbolic equation and insensitive control of Ginzburg-Landau equation are studied. For degenerate hyperbolic equations. Different positions are applied according to the control. We study the boundary controllability and internal controllability respectively for some degenerate hyperbolic equations which can not be controlled from zero. We study its weaker controllability. The region controllability and delay region controllability. Ginzburg-Landau equation can describe many superconducting phenomena of nonlinear waves and play an important role in amplitude equation theory. We study the existence of insensitive control for nonlinear Ginzburg-Landau equation. The main content of this paper is divided into the following four parts. In chapter 2, we study the existence of insensitive control for a class of nonlinear complex Ginzburg-Landau equations with homogeneous Dirichlet boundary conditions and internal control. When the nonlinear term in the equation satisfies the appropriate superlinear growth condition at infinity. We prove the existence of insensitive control for the corresponding semilinear Ginzburg-Landau equation. meanwhile When the nonlinear term in the equation is only a smooth function without any growth condition, we obtain the local results of insensitive control. According to the usual method, we transform the insensitive control problem into the controllability problem of a linear and semi-linear Ginzburg-Landau equation coupled with a single control system. The key is to establish an observable inequality for linearly coupled Ginzburg-Landau equations under a single observation. In chapter 3 of this paper. We study the boundary zero controllability problem of one dimensional linear degenerate hyperbolic equation. Since the degenerate hyperbolic equation still has time reversibility, its zero controllability is equivalent to exact controllability. First, we discuss the fitness of the linear degenerate hyperbolic equation. And then. The zero controllability of some degenerate hyperbolic equations when the control is applied to the nondegenerate boundary is given. In this case, any initial value in the state space is zero controllable, which is different from the known controllability of the control applied on the degenerate boundary. At the same time, we give the exact expression of controllability time. In addition. For some other degenerate hyperbolic equations, we give a counterexample of nonzero controllability. In chapter 4, we study the internal zero controllability of one dimensional semilinear degenerate hyperbolic equations. By using Hilbert uniqueness method, we need to establish an observability estimate for linear degenerate hyperbolic equations. We first prove the unique continuation of the degenerate hyperbolic equation by the characteristic line method, and then prove the observable inequality by the unique continuation method combined with the multiplier method. The key lies in the construction of multipliers. In the fifth chapter of this paper, we focus on the problem of zero controllability in the delay domain of one dimensional linear degenerate hyperbolic equation with internal control. Different from the nondegenerate hyperbolic equations, the zero controllability results of some degenerate hyperbolic equations do not hold true. Therefore, the zero controllability of the delay region is introduced, which means finding a control such that the corresponding state of the degenerate hyperbolic equation is constant to zero in a subset of the space region and for a period of time. To this end. We first establish the domain zero controllability of degenerate hyperbolic equations. This problem can also be transformed into an appropriate observability problem for linear degenerate hyperbolic equations. The key is to construct appropriate multipliers to prove this observable inequality.
【學(xué)位授予單位】：東北師范大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2016
【分類號(hào)】：O231

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本文編號(hào)：2127115