本文選題：華林-哥德巴赫問題 + Hardy-Littlewood方法�。� 參考：《山東大學》2016年博士論文

【摘要】：1742年,哥德巴赫在與歐拉的兩封通信中,提出了著名的哥德巴赫猜想,具體可以表述為：(1)任何一個不小于6的偶數(shù),都可以表示成兩個奇素數(shù)之和；(2)任何一個不小于9的奇數(shù),都可以表示成三個奇素數(shù)之和.其中(1)被稱為偶數(shù)哥德巴赫猜想,(2)被稱為奇數(shù)哥德巴赫猜想.1937年,Vinogradov[64]基本解決了奇數(shù)哥德巴赫猜想.他借助Hardy-Littlewood方法并結合素變量三角和的估計證明了每一個充分大的奇數(shù)都可以表示成三個奇素數(shù)之和.2013年,奇數(shù)哥德巴赫猜想被Helfgott[22,23]徹底解決.作為哥德巴赫問題的非線性推廣,華林-哥德巴赫問題也是數(shù)學家關注的焦點問題之一.這一類問題主要研究滿足某些同余條件的充分大的正整數(shù)N表為素數(shù)方冪的可能性,即研究方程N=p1k+p2k+…+psk (0.1)的可解性,其中p1,...,ps是素數(shù).設H(k)表示使得對于所有滿足某些同余條件的充分大的N,方程(0.1)有解時s的最小值.對于固定的k,我們關心H(k)的上界.1938年,華羅庚[26]在對華林-哥德巴赫問題的研究中,以Hardy-Littlewood方法作為基本工具,結合Vinogradov關于素變量三角和的估計得到了深刻的結果.他證明了H(k)≤2k+1對于所有k≥1都成立.當k≤3時,這一結果仍然是迄今為止最好的.對于4≤k≤7的情況,H(k)的上界得到了很大程度的改進.到目前為止最好的結果為：H(4)≤13(趙立璐[72])；H(5)≤21(Kawada和Wooley[32]);H(6)≤32(趙立璐[72])；H(7)≤45(Kumchev和Wooley [36]).當k≥8時,目前最好的結果是由Kumchev和Wooley得到的,具體可參見文[36].這一系列結果,大部分是在應用Hardy-Littlewood方法的基礎上得到的.根據(jù)Hardy在文[14]中的說法,Hardy-Littlewood方法應該可以解決堆壘數(shù)論中包括哥德巴赫猜想、華林問題等在內的許多經(jīng)典問題.雖然偶數(shù)哥德巴赫猜想至今尚未解決,但就堆壘數(shù)論問題的研究和發(fā)展來看,Hardy-Littlewood方法的確是研究堆壘數(shù)論問題的強有力工具之一本文我們將應用Hardy-Littlewood方法研究幾類堆壘數(shù)論問題.考慮的第一個問題是幾乎相等的混合方次華林-哥德巴赫問題.1953年,Prachar在文[51]中首先研究了下面方程的可解性n=p22+p33+p44+p55,(0.2)其中pi(2≤if≤5)是素數(shù).他證明了幾乎所有的偶數(shù)n都可以表示成(0.2)的形式.設E(N)表示不超過N且不能寫成(0.2)式的偶數(shù)n的個數(shù).在[51]中,Prachar證明了E(N)N(log N)-30/47+ε.后來Bauer[1,2],任秀敏和曾啟文[57,58]等都對E(N)的上界做了進一步的研究.目前最好的結果是趙立璐在文[73]中得到的,他證明了E(N)N15/16+ε.在本文中,我們研究(0.2)式在素變量幾乎相等時的情形.具體來說,該問題是研究方程的可解性,其中U=N1-θ+ε,N是一個充分大的數(shù).令E(N,U)表示不能寫成(0.3)且滿足N-4U≤n≤N+4U的偶數(shù)n的個數(shù).在這一問題中,我們希望對盡可能大的θ∈(0,1),有E(N,U)《U1-ε 其中 U=N1-θ+ε.(0.4)2012年,李太玉和唐恒才在[37]中首先對這一問題進行了研究并證明了(0.4)對于θ=1/264成立.本文也對方程(0.3)進行了研究并改進了[37]中的結果.我們的主要定理如下：定理1 在上述記號下,(0.4)式對θ=4/325成立.繼文[51]之后,Prachar在另一篇文章[52]中證明了任意充分大的奇數(shù)N都可以表示成N=p1+p22+p33+p44+55. (0.5)在[37]中,李太玉和唐恒才研究了(0.5)式在素變量幾乎相等時的情形,即研究了方程的可解性,其中U=N1-δ+ε.他們證明了當θ=1/264時(0.6)式可解.在本文中,我們利用定理1,證明了下面這個結果.定理2 對于任意充分大的奇數(shù)N和U=N-14/325+ε,素變量方程(0.6)可解.本文考慮的第二個問題是與除數(shù)函數(shù)有關的一類均值估計問題.記d(n)為除數(shù)函數(shù),k是一個正整數(shù).對于X1,考慮關于除數(shù)函數(shù)的如下形式的均值：對于T(k,s；X)的估計,以前的工作主要集中在k=2的情形.最早研究這個問題的是Gafurov,他在[10,11]中研究了當s=2時的情形,證明了T(2,2;X)=A1X2logX+A2x2+O(X5/3 log9X),其中A1,A2是常數(shù).上式的余項被余剛在文[69]中改進至O(X3/2+ε).2000年,C.Calder6n和M.J.de Velasco[6]研究了s=3時的情形.他們證明了后來這一結果被郭汝庭和翟文廣[13]改進至其中Gi,Ij(i,j=1,2)是常數(shù).2014年,趙立璐[71]將上式余項改進為O(X2 log7 X).此外,胡立群[24]證明了當s=4時,丁(2,4；X)有如下漸進公式：T(2,4;X)=2C'1I'1X4 log X+(C'1I'2+C'2I'1)X4+O(X7/2+ε),其中C'i,I'j(i,j=1,2)是常數(shù).隨后,胡立群和劉華鋒在文[251中,將上式余項進一步改進為O(X3 log 7 X).本文我們給出了當k≥2時T(k,s;X)的漸進公式.當k=2時,我們的主要結果如下：定理3 令T(k,s;X)如(0.7)式所定義且k=2.那么當S≥3時,有T(2,s;X)=2C1,sT1,sXs logX+(C1,sI2,s+C2,sI1,s)Xs+Os(Xs+1/2log s+4X+Xs-2 log X),其中ε0是任意給定的常數(shù),Gi,s和Ij,s(i,j=1,2)由(1.16)式定義.這里Ci,s(i=1,2)是該問題的奇異級數(shù),它是絕對收斂的且滿足Gi,s》1.注意到,當s=3時,定理3的結果與趙立璐在文[71]中的結果一致.當s=4時,定理3中的余項為O(X5/2 log X),此結果改進了胡立群和劉華鋒在文[25]中的結果.對于k≥3,我們有下面的定理：定理4 設T(k,s;X)由(0.7)式定義且k≥3.那么對于smin{2k-1,k2+k-2},我們有T(k,s;X)=kC1,k,sII,k,sXs log X+(C1,k,s,2,k,s+C2,k,sI1,k,s)Xs+O(Xs-θ+ε),其中這里Gi,k,s和Ij,k,s(i,j=1,2)由(1.14)式和(1.15)式定義.奇異級數(shù)Gi,k,s(i=1,2)是絕對收斂的且滿足Ci,k,s1.
[Abstract]:In 1742, in two correspondence with Euler, Goldbach proposed the famous Goldbach conjecture, which can be expressed as: (1) any even number of no less than 6 can be expressed as the sum of two odd prime numbers; (2) any odd number of no less than 9 can be shown as the sum of three odd prime numbers. (1) is called the even number Goldba. The Herr conjecture, (2) known as the odd number Goldbach conjecture.1937, Vinogradov[64] basically solved the odd number Goldbach's conjecture. He proved that every sufficient large odd number can be represented as three odd prime and.2013 years with the Hardy-Littlewood method and the estimation of the prime variable triangle, and the odd Goldbach conjecture is Helfgott[22, 23] is a complete solution. As a nonlinear generalization of Goldbach problem, Hualin Goldbach problem is also one of the focus problems of mathematicians. This kind of problem mainly studies the possibility that the large positive integer N table which satisfies some congruence conditions is the power of prime square, that is, the study of the equation N= p1k+p2k+... The solvability of +psk (0.1), in which P1,..., and PS are prime numbers. Set H (k) to express the minimum value of s when there is a sufficient N for all the congruence conditions. For a fixed k, we care about the upper bound of H (k), and Hua [26] is the basic of the study of the Hua Lin Goldbach problem. The tool, combined with Vinogradov's estimation of the sum of the prime variable triangles, is a profound result. He proved that H (k) < 2k+1 is good for all k > 1. When k is less than 3, this result is still the best so far. For the case of 4 less than k < 7, the upper bound of H (k) has been greatly improved. So far, the best result is: H (4) < 1. 3 (Zhao Lilu [72]); H (5) < 21 (Kawada and Wooley[32]); H (6) < 32 (Zhao Li Lu [72]); H (7) < 45 (Kumchev and Wooley [36]). When k > 8, the present best result is obtained by Kumchev and other results, most of which are obtained on the basis of the application method. In [14], the Hardy-Littlewood method should be able to solve many classical problems, including Goldbach's conjecture and Hualin problem in the stack base number theory. Even though even Goldbach's conjecture has not been solved yet, the study and development of the problem of the number theory of heap base, the Hardy-Littlewood method is indeed a strong study of the problem of the number theory of heap base. One of the powerful tools in this paper we will use the Hardy-Littlewood method to study the problem of a number of heap number theory. The first problem to be considered is the almost equal mixed square Hualin Goldbach problem.1953. Prachar first studied the solvability n=p22+p33+p44+ p55 of the following equation in [51], (0.2) PI (2 < if < 5) is a prime number. It is clear that almost all even numbered n can be represented as (0.2) form. Set E (N) to express no more than N and can not be written as a number of even n of (0.2). In [51], Prachar proves E (N) N (log N). In this paper, he proved E (N) N15/16+ epsilon. In this article, we study the case of (0.2) in the case that the prime variable is almost equal. Specifically, the problem is to study the solvability of the equation, in which U=N1- theta + epsilon, N is a sufficiently large number. The E (N, U) representation can not be written as (0.3) and satisfies the number of even numbers of N-4U < < < n > N+4U. In one problem, we want to be as large as possible (0,1), E (N, U) 1. notes that when s=3, the result of Theorem 3 coincide with the result of Zhao Li Lu in the article [71]. When s=4, the remainder in Theorem 3 is O (X5/2 log X), and this result improves the results of Hu Liqun and Liu Huafeng in the article [25]. K > 3., then smin{2k-1, k2+k-2}, we have T (k, s; X) =kC1, K, sII, K, which are defined by (1.14) and (1.15).
【學位授予單位】：山東大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2016
【分類號】：O156

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本文編號：2085148

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